Problema con una domanda d'esame
fissata la matrice $ A= ( ( 0 , 1 ),( -1 , 1 ) ) $ nello spazio vettoriale $ \mathcal(R^(2,2) $
a) provare che $ V = { X in R^(2,2) | AX=XA } $ è un sottospazio vettoriale di $ \mathcal(R^(2,2) $ e determinarne la dimensione
b) scrivere le equazioni nella base naturale di $ \mathcal(R^(2,2) $ di V, determinandone la dimensione ed una base
c) determinare un supplementare di W di V in $ \mathcal(R^(2,2) $
d) esprimere $ B=( ( 1, 1 ) , (1,1) ) $ come somma di V e W
questo è il testo di una domanda d'esame, ora sul punto a sono abbastanza convinto in quanto mi basta considerare una generica matrice $ X= ( ( x, y ), ( z, w) ) $ calcolare AX e XA e ottengo le matrici che appartengono a questo spazio per poi verificare le proprietà di sottospazio.
sul secondo punto invece non so come fare, non capisco cosa voglia dire scrivere le equazioni nella base naturale e poi determinare dimensione e base, qualcuno mi può aiutare?
a) provare che $ V = { X in R^(2,2) | AX=XA } $ è un sottospazio vettoriale di $ \mathcal(R^(2,2) $ e determinarne la dimensione
b) scrivere le equazioni nella base naturale di $ \mathcal(R^(2,2) $ di V, determinandone la dimensione ed una base
c) determinare un supplementare di W di V in $ \mathcal(R^(2,2) $
d) esprimere $ B=( ( 1, 1 ) , (1,1) ) $ come somma di V e W
questo è il testo di una domanda d'esame, ora sul punto a sono abbastanza convinto in quanto mi basta considerare una generica matrice $ X= ( ( x, y ), ( z, w) ) $ calcolare AX e XA e ottengo le matrici che appartengono a questo spazio per poi verificare le proprietà di sottospazio.
sul secondo punto invece non so come fare, non capisco cosa voglia dire scrivere le equazioni nella base naturale e poi determinare dimensione e base, qualcuno mi può aiutare?
Risposte
Credo che sia sufficiente il ragionamento fatto per il punto a), cioè:
Sia $X=((a,b),(c,d))$ una generica matrice quadrata di ordine 2. Allora $X in V iff AX=XA$, ossia se e solo se
$((0,1),(-1,1))*((a,b),(c,d))=((a,b),(c,d))*((0,1),(-1,1))$
ossia se e solo se
$((c,d),(-a+c,-b+d))=((-b,a+b),(-d,c+d))$
Scrivendole come equazioni si ottiene:
$c=-b$
$d=a+b$
$-a+c=-d$
$-b+d=c+d$
da cui si ottiene:
$a=$variabile libera
$b=$variabile libera
$c=-b$
$d=a+b$
Credo si riferisca a queste equazioni... Infatti si può riscrivere:
$V={((a,b),(c,d))in M_2(RR)|c=-b ^^ d=a+b}$.
Riguardo la base e la dimensione dovrebbero essere le stesse ricavabili dal punto a):
$B={((1,0),(0,1)),((0,1),(-1,1))}$
da cui: $dim(V)=2$
Sia $X=((a,b),(c,d))$ una generica matrice quadrata di ordine 2. Allora $X in V iff AX=XA$, ossia se e solo se
$((0,1),(-1,1))*((a,b),(c,d))=((a,b),(c,d))*((0,1),(-1,1))$
ossia se e solo se
$((c,d),(-a+c,-b+d))=((-b,a+b),(-d,c+d))$
Scrivendole come equazioni si ottiene:
$c=-b$
$d=a+b$
$-a+c=-d$
$-b+d=c+d$
da cui si ottiene:
$a=$variabile libera
$b=$variabile libera
$c=-b$
$d=a+b$
Credo si riferisca a queste equazioni... Infatti si può riscrivere:
$V={((a,b),(c,d))in M_2(RR)|c=-b ^^ d=a+b}$.
Riguardo la base e la dimensione dovrebbero essere le stesse ricavabili dal punto a):
$B={((1,0),(0,1)),((0,1),(-1,1))}$
da cui: $dim(V)=2$
purtroppo il testo è troppo poco chiaro :S spero in altre risposte di conferma che sia così, in ogni caso grazie mille
Beh, la base naturale è la base canonica e le equazioni naturali sono le equazioni canoniche:
a) Per provare che è uno spazio vettoriale, dobbiamo vedere che rispetta la somma, il prodotto per scalare e che contiene lo zero,: (la faccio un po' lunga, non sapendo cosa sai)
Siano $X,Y in M_2(RR), alpha in RR:$
$X=((alpha_x,beta_x),(gamma_x,delta_x)),Y=((alpha_y,beta_y),(gamma_y,delta_y))->A(X+Y)=A(((alpha_x,beta_x),(gamma_x,delta_x))+((alpha_y,beta_y),(gamma_y,delta_y)))$
$A((alpha_x+alpha_y,beta_x+beta_y),(gamma_x+gamma_y,delta_x+delta_y))=((gamma_x+gamma_y,delta_x+delta_y),(-(alpha_x+alpha_y)+gamma_x+gamma_y,-(beta_x+beta_y)+delta_x+delta_y)) $
$((gamma_x,delta_x),(-alpha_x+gamma_x,-beta_x+delta_x))+((gamma_y,delta_y),(-alpha_y+gamma_y,-beta_y+delta_y))= AX + AY=XA +YA=$
$=((-beta_x, alpha_x+beta_x),(-delta_x,gamma_x+delta_x))+((-beta_y, alpha_y+beta_y),(-delta_y,gamma_y+delta_y))=((-beta_x-beta_y, alpha_x+beta_x+alpha_y+beta_y),(-delta_x-delta_y,gamma_x+delta_x+gamma_y+delta_y))=$
$=((alpha_x+alpha_y,beta_x+beta_y),(gamma_x+gamma_y,delta_x+delta_y))A=(X+Y)A$
Ora vediamo per il prodotto per uno scalare:
$A(kX)=A((k alpha_x,k beta_x),(k gamma_x,k delta_x))=((k gamma_x,k delta_x),(k(-alpha_x+gamma_x),k(-beta_x+delta_x)))=k((gamma_x,delta_x),(-alpha_x+gamma_x,-beta_x+delta_x))=$
$=k AX=k XA=k ((-beta_x, alpha_x+beta_x),(-delta_x,gamma_x+delta_x))= ((-k beta_x, k(alpha_x+beta_x)),(-k delta_x,k( gamma_x+delta_x) ))=(kX)A$
Vediamo lo zero:
$A 0_(M_2(RR))= A((0,0),(0,0))= ((0,0),(0,0))=((0,0),(0,0))A=0_(M_2(RR)) A$
Bene è un sottospazio
b) $X=((alpha,beta),(gamma,delta))->((alpha,beta),(gamma,delta))((0,1),(-1,1))=((0,1),(-1,1))((alpha,beta),(gamma,delta))->\{(-beta=gamma),(alpha+beta=delta),(-delta=-alpha+gamma),(delta+gamma=-beta+delta):}->$
$->X=((alpha,beta),(-beta,alpha+beta))-> X=((alpha,0),(0,alpha))+ ((0,beta),(-beta,beta))->X=<((1,0),(0,1))+((0,1),(-1,1))>$
Ora si vede che ha dimensione due, proviamo a descrivere i due vettori con le equazioni:
${(x_(1,1)-x_(2,2)=0),(x_(1,2)=0),(x_(2,1)=0):} , {(x_(1,1)=0),(x_(1,2)+x_(2,1)=0),(x_(2,1)+x_(2,2)=0):} $
Dimmi se hai capito fino a qui!
a) Per provare che è uno spazio vettoriale, dobbiamo vedere che rispetta la somma, il prodotto per scalare e che contiene lo zero,: (la faccio un po' lunga, non sapendo cosa sai)
Siano $X,Y in M_2(RR), alpha in RR:$
$X=((alpha_x,beta_x),(gamma_x,delta_x)),Y=((alpha_y,beta_y),(gamma_y,delta_y))->A(X+Y)=A(((alpha_x,beta_x),(gamma_x,delta_x))+((alpha_y,beta_y),(gamma_y,delta_y)))$
$A((alpha_x+alpha_y,beta_x+beta_y),(gamma_x+gamma_y,delta_x+delta_y))=((gamma_x+gamma_y,delta_x+delta_y),(-(alpha_x+alpha_y)+gamma_x+gamma_y,-(beta_x+beta_y)+delta_x+delta_y)) $
$((gamma_x,delta_x),(-alpha_x+gamma_x,-beta_x+delta_x))+((gamma_y,delta_y),(-alpha_y+gamma_y,-beta_y+delta_y))= AX + AY=XA +YA=$
$=((-beta_x, alpha_x+beta_x),(-delta_x,gamma_x+delta_x))+((-beta_y, alpha_y+beta_y),(-delta_y,gamma_y+delta_y))=((-beta_x-beta_y, alpha_x+beta_x+alpha_y+beta_y),(-delta_x-delta_y,gamma_x+delta_x+gamma_y+delta_y))=$
$=((alpha_x+alpha_y,beta_x+beta_y),(gamma_x+gamma_y,delta_x+delta_y))A=(X+Y)A$
Ora vediamo per il prodotto per uno scalare:
$A(kX)=A((k alpha_x,k beta_x),(k gamma_x,k delta_x))=((k gamma_x,k delta_x),(k(-alpha_x+gamma_x),k(-beta_x+delta_x)))=k((gamma_x,delta_x),(-alpha_x+gamma_x,-beta_x+delta_x))=$
$=k AX=k XA=k ((-beta_x, alpha_x+beta_x),(-delta_x,gamma_x+delta_x))= ((-k beta_x, k(alpha_x+beta_x)),(-k delta_x,k( gamma_x+delta_x) ))=(kX)A$
Vediamo lo zero:
$A 0_(M_2(RR))= A((0,0),(0,0))= ((0,0),(0,0))=((0,0),(0,0))A=0_(M_2(RR)) A$
Bene è un sottospazio
b) $X=((alpha,beta),(gamma,delta))->((alpha,beta),(gamma,delta))((0,1),(-1,1))=((0,1),(-1,1))((alpha,beta),(gamma,delta))->\{(-beta=gamma),(alpha+beta=delta),(-delta=-alpha+gamma),(delta+gamma=-beta+delta):}->$
$->X=((alpha,beta),(-beta,alpha+beta))-> X=((alpha,0),(0,alpha))+ ((0,beta),(-beta,beta))->X=<((1,0),(0,1))+((0,1),(-1,1))>$
Ora si vede che ha dimensione due, proviamo a descrivere i due vettori con le equazioni:
${(x_(1,1)-x_(2,2)=0),(x_(1,2)=0),(x_(2,1)=0):} , {(x_(1,1)=0),(x_(1,2)+x_(2,1)=0),(x_(2,1)+x_(2,2)=0):} $
Dimmi se hai capito fino a qui!
"Maci86":ok fino a qui ci sono!!
Dimmi se hai capito fino a qui!
c) Troviamo i vettori complementari, dalle equazioni trovi gli ortogonali,mettendo nella matrice il coefficiente dell'incognita, e dagli ortogonali trovi quali sono nell'intersezione:
${(x_(1,1)-x_(2,2)=0->((1,0),(0,-1))),(x_(1,2)=0->((0,1),(0,0))),(x_(2,1)=0->((0,0),(1,0))):} , {(x_(1,1)=0->((1,0),(0,0))),(x_(1,2)+x_(2,1)=0->((0,1),(1,0))),(x_(2,1)+x_(2,2)=0->((0,0),(1,1))):} =>W=<((1,0),(-1,-1)),((0,1),(1,0))>$
d) Si vede subito che $B$ è dato da:
$VuuW=<((1,0),(0,1)),((0,1),(-1,1)),((1,0),(-1,-1)),((0,1),(1,0))> =>$
$=>B=v_1+w_2=((1,0),(0,1))+((0,1),(1,0))=((1,1),(1,1))$
${(x_(1,1)-x_(2,2)=0->((1,0),(0,-1))),(x_(1,2)=0->((0,1),(0,0))),(x_(2,1)=0->((0,0),(1,0))):} , {(x_(1,1)=0->((1,0),(0,0))),(x_(1,2)+x_(2,1)=0->((0,1),(1,0))),(x_(2,1)+x_(2,2)=0->((0,0),(1,1))):} =>W=<((1,0),(-1,-1)),((0,1),(1,0))>$
d) Si vede subito che $B$ è dato da:
$VuuW=<((1,0),(0,1)),((0,1),(-1,1)),((1,0),(-1,-1)),((0,1),(1,0))> =>$
$=>B=v_1+w_2=((1,0),(0,1))+((0,1),(1,0))=((1,1),(1,1))$
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