Problema con un sistema parametrico
[tex]\left\{\begin{matrix}
x-y-z=31\\2x+hy+z=9
\\hx-hy+3z=3
\end{matrix}\right.[/tex]
Ho effettuato le seguenti riduzioni per righe:
[tex]R_2=2R_1-R_2[/tex]
[tex]R_3=hR_1-R_3[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 &31 \\
0&-2-h &-3 &53 \\
0&0 &-h-3 &31h-3
\end{pmatrix}[/tex]
Ho considerato [tex]h=-2,-3[/tex] è il sistema mi risulta impossibile, per [tex]h=0[/tex] ottengo un' unica soluzione:
[tex](x,y,z)=(4,-28,1)[/tex]
Mentre trovo difficoltà a studiarlo per [tex]h\neq0[/tex]
Non riesco a ridurre la matrice di sopra senza ottenere espressioni strane o identità.
x-y-z=31\\2x+hy+z=9
\\hx-hy+3z=3
\end{matrix}\right.[/tex]
Ho effettuato le seguenti riduzioni per righe:
[tex]R_2=2R_1-R_2[/tex]
[tex]R_3=hR_1-R_3[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 &31 \\
0&-2-h &-3 &53 \\
0&0 &-h-3 &31h-3
\end{pmatrix}[/tex]
Ho considerato [tex]h=-2,-3[/tex] è il sistema mi risulta impossibile, per [tex]h=0[/tex] ottengo un' unica soluzione:
[tex](x,y,z)=(4,-28,1)[/tex]
Mentre trovo difficoltà a studiarlo per [tex]h\neq0[/tex]
Non riesco a ridurre la matrice di sopra senza ottenere espressioni strane o identità.
Risposte
Per [tex]$h \neq 2,3$[/tex], il sistema ha soluzione unica, perché la matrice ha rango 3. Hai ridotto la matrice a scala; ora si tratta soltanto di trovare l'ultima incognita e sostituire sopra per trovare le altre due. Dov'è che ti blocchi?
Per [tex]h\neq 2,3[/tex]? Io ho considerato [tex]h=-2,-3[/tex] Perchè si annullano i termini in quel caso.....
Praticamente rimango bloccato in quella matrice, devo procedere per sostituzione? Io so che devo moltiplicare le righe in modo da togliere di mezzo la h, in poche parole devo cercare di fare diventare 1 i termini in cui compare h, ma non ci sto riuscendo...
Praticamente rimango bloccato in quella matrice, devo procedere per sostituzione? Io so che devo moltiplicare le righe in modo da togliere di mezzo la h, in poche parole devo cercare di fare diventare 1 i termini in cui compare h, ma non ci sto riuscendo...
Scusa Darèios, due osservazioni: la prima è che, piuttosto che ridurre a scala, ti conviene ragionare sul determinate della matrice dei coefficienti, in questo modo ottieni un risultato più "globale". La seconda è che, come hai giustamente notato, con [tex]$h\in{0, -2, -3\}$[/tex] ci sono problemi, mentre se [tex]$h$[/tex] è diverso da uno di questi valori, allora la "forma triangolare" del sistema è fatta bene (non c'è riduzione di equazioni). A questo punto dovresti essere in grado di concludere che se il parametro non è uguale a nessuno di quei tre valori "problematici" allora...
Posso risolverlo per sostituzione?
Riscrivendo il sistema e lasciando tutto in funzione di h ho ottenuto questa soluzione unica:
[tex](x,y,z)=(\frac{316h+6}{(-2-h)(-h-3)},\frac{40h-186}{(-2-h)(-h-3)},\frac{31h-3}{-h-3})[/tex]
Se [tex]h\neq 0,-2,-3[/tex]
Altrimenti impossibile.
Spero di non aver sbagliato i conti.....l' ora è tarda
Riscrivendo il sistema e lasciando tutto in funzione di h ho ottenuto questa soluzione unica:
[tex](x,y,z)=(\frac{316h+6}{(-2-h)(-h-3)},\frac{40h-186}{(-2-h)(-h-3)},\frac{31h-3}{-h-3})[/tex]
Se [tex]h\neq 0,-2,-3[/tex]
Altrimenti impossibile.
Spero di non aver sbagliato i conti.....l' ora è tarda
Mi sembra che funzioni. Comunque questo è quello che ti dicevo di fare: il determinante della matrice dei coefficienti è
[tex]$\Delta=3h-h+2h-(-h^2-6-h)=h^2+5h+6=(h+2)(h+3)$[/tex]
Ora, se tale determinante è diverso da zero non hai problemi: il Teorema di Cramer afferma, infatti, che il tuo sistema ammette un'unica soluzione. Ti resta da determinare cosa accade se [tex]$h=-2,\ h=-3$[/tex] (casi in cui il determinate si annulla). Inoltre, per [tex]$h=0$[/tex] il sistema si riduce a [tex]$x-y-z=31,\ 2x+z=9,\ 3z=3$[/tex] la cui soluzione risulta [tex]$(4,\ -28,\ 1)$[/tex] per cui, come vedi, in questo caso non hai problemi. Per analizzare gli altri due casi, basta sostituire i valori di $h$ nel sistema iniziale e vedere come si modificano le equazioni.
[tex]$\Delta=3h-h+2h-(-h^2-6-h)=h^2+5h+6=(h+2)(h+3)$[/tex]
Ora, se tale determinante è diverso da zero non hai problemi: il Teorema di Cramer afferma, infatti, che il tuo sistema ammette un'unica soluzione. Ti resta da determinare cosa accade se [tex]$h=-2,\ h=-3$[/tex] (casi in cui il determinate si annulla). Inoltre, per [tex]$h=0$[/tex] il sistema si riduce a [tex]$x-y-z=31,\ 2x+z=9,\ 3z=3$[/tex] la cui soluzione risulta [tex]$(4,\ -28,\ 1)$[/tex] per cui, come vedi, in questo caso non hai problemi. Per analizzare gli altri due casi, basta sostituire i valori di $h$ nel sistema iniziale e vedere come si modificano le equazioni.
Mh....terrò a mente il tuo suggerimento, queste idee non mi sono venute perchè mi devo mettere sotto con i sistemi, ho provato a farne qualcuno sulla base di ciò che ricordavo, ma devo studiare meglio anche la teoria 
Grazie mille!
Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo