Problema con un esercizio sugli spazi vettoriali
Buongiorno a tutti
avrei bisogno di chiedervi un consiglio su come procedere con questo esercizio
dato
$w_1 = { X \in \mathbb{R}^(2,2) | tr(X)=0} $
purtroppo pare che il tool "aggiungi formula" oggi faccia i capricci quindi non riesco ad inserire correttamente le matrici.
Vi i indico $w_2$ descrivendola; è lo span di tre matrici che vi scrivo per righe
la prima è (1 0 ; -1 1), la seconda (2 1; 0 -1) e la terza (-4 -3; -2 5)
spero di essermi spiegato
l'esercizio mi chiede di trovare la dimensione e una base di $w_1$ e di $w_2$
ora per quanto riguarda $w_1$ non ho idea su come iniziare, avendo solo la somma degli elementi sulla diagonale come ho modo di sapere quante colonne di quella matrice sono linearmente indipendenti?
per quanto riguarda $w_2$ io fino ad ora ho sempre calcolato lo span tra vettori, ma tra matrici mai. E' sufficiente trasformare le matrici in vettori colonna e calcolare lo span in quel modo?
Mi pare un'idea un po' azzardata
O devo invece calcolare lo span ponendo la combinazione lineare degli elementi delle matrici pari ad una matrice nulla?
spero di essermi spiegato, senza tool per le formule è difficile
intendo dire...
q(1 0 ; -1 1)+k(2 1; 0 -1) + s(-4 -3; -2 5) = (0 0; 0 0)
il secondo, ad intuito mi sembra più sensato
avreste qualche suggerimento?
grazie mille a tutti
avrei bisogno di chiedervi un consiglio su come procedere con questo esercizio
dato
$w_1 = { X \in \mathbb{R}^(2,2) | tr(X)=0} $
purtroppo pare che il tool "aggiungi formula" oggi faccia i capricci quindi non riesco ad inserire correttamente le matrici.
Vi i indico $w_2$ descrivendola; è lo span di tre matrici che vi scrivo per righe
la prima è (1 0 ; -1 1), la seconda (2 1; 0 -1) e la terza (-4 -3; -2 5)
spero di essermi spiegato
l'esercizio mi chiede di trovare la dimensione e una base di $w_1$ e di $w_2$
ora per quanto riguarda $w_1$ non ho idea su come iniziare, avendo solo la somma degli elementi sulla diagonale come ho modo di sapere quante colonne di quella matrice sono linearmente indipendenti?
per quanto riguarda $w_2$ io fino ad ora ho sempre calcolato lo span tra vettori, ma tra matrici mai. E' sufficiente trasformare le matrici in vettori colonna e calcolare lo span in quel modo?
Mi pare un'idea un po' azzardata
O devo invece calcolare lo span ponendo la combinazione lineare degli elementi delle matrici pari ad una matrice nulla?
spero di essermi spiegato, senza tool per le formule è difficile
intendo dire...
q(1 0 ; -1 1)+k(2 1; 0 -1) + s(-4 -3; -2 5) = (0 0; 0 0)
il secondo, ad intuito mi sembra più sensato
avreste qualche suggerimento?
grazie mille a tutti
Risposte
Se le matrici di $w_1$ sono, in generale, della forma
$$\left(\begin{array}{cc}
a & b\\ c & d
\end{array}\right)$$
allora la condizione implica che $a+d=0$, cioè $d=-a$ e quindi le matrici sono
$$\left(\begin{array}{cc}
a & b\\ c & -a
\end{array}\right)$$
e da questa forma trovi una base e la dimensione, che risulta tre.
Per l'altro spazio, puoi mettere le tre matrici in forma di vettori riga (o colonna) in un'altra matrice determinare il rango di questa per determinare se siano linearmente indipendenti (cosa comunque equivalente al risolvere il sistema che hai scritto): anche in questo caso avrai dimensione pari a 3.
$$\left(\begin{array}{cc}
a & b\\ c & d
\end{array}\right)$$
allora la condizione implica che $a+d=0$, cioè $d=-a$ e quindi le matrici sono
$$\left(\begin{array}{cc}
a & b\\ c & -a
\end{array}\right)$$
e da questa forma trovi una base e la dimensione, che risulta tre.
Per l'altro spazio, puoi mettere le tre matrici in forma di vettori riga (o colonna) in un'altra matrice determinare il rango di questa per determinare se siano linearmente indipendenti (cosa comunque equivalente al risolvere il sistema che hai scritto): anche in questo caso avrai dimensione pari a 3.
Scusa ma come fa una matrice 2x2 ad avere dimensione pari a 3?
Non è la matrice ad avere dimensione, è lo spazio vettoriale. Ma tu un po' di teoria l'hai letta? Perché mi pare che non conosca tante, ma tante, ma tante cose, visto l'immane "cavolata" (per essere fini) che hai appena sparato!!!!!
ho sbagliato a scrivere, intendevo rango 
(la mia ignoranza è comunque illimitata - non lo nego)
Comunque ci sto arrivando (Credo) i risultati incominciano a tornarmi, e in effetti la dimensione mi viene proprio 3
(la mia ignoranza è comunque illimitata - non lo nego)
Comunque ci sto arrivando (Credo) i risultati incominciano a tornarmi, e in effetti la dimensione mi viene proprio 3
La matrice che intendevo, per verificare la dimensione del secondo spazio, è questa
$$\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -1 & 1\\ 2 & 1 & 0 & -1\\ -4 & 3 & -2 & 5
\end{array}\right)$$
che come tiho spiegato (e come puoi vedere da te) si ottiene trasformando in righe le matrici date e coincide con la trasposta della matrice dei coefficienti del sistema che hai scritto....
$$\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & -1 & 1\\ 2 & 1 & 0 & -1\\ -4 & 3 & -2 & 5
\end{array}\right)$$
che come tiho spiegato (e come puoi vedere da te) si ottiene trasformando in righe le matrici date e coincide con la trasposta della matrice dei coefficienti del sistema che hai scritto....
ok il primo mi torna e ho trovato anche la base
per il secondo spazio vettoriale ho trovato che la terza matrice è pari alla prima moltiplicata per 2 sommata alla seconda moltiplicata per -3, quindi la dimensione è pari 2, che ovviamente trovo anche calcolando il rango della matrice che hai indicato tu (anche se il secondo termina dell'ultima riga è -3 e non 3
)
per il secondo spazio vettoriale ho trovato che la terza matrice è pari alla prima moltiplicata per 2 sommata alla seconda moltiplicata per -3, quindi la dimensione è pari 2, che ovviamente trovo anche calcolando il rango della matrice che hai indicato tu (anche se il secondo termina dell'ultima riga è -3 e non 3
)
Ah, ok, avevo letto $3$. Allora sì, il rango della matrice che ho scritto è due, per cui solo due delle matrici formano una base di $w_2$ che, quindi, ha dimensione 2.
[ot]
Ciao, cosa succede o non succede esattamente? Compare qualche messaggio d'errore?[/ot]
"Summerwind78":
purtroppo pare che il tool "aggiungi formula" oggi faccia i capricci
Ciao, cosa succede o non succede esattamente? Compare qualche messaggio d'errore?[/ot]
@anonymous_be1147:
purtroppo il tuo off--topic non lo posso leggere. Non mi si apre il testo nascosto.
Immagino fosse per il problema del tool per le formule che non funziona.
In tal caso, come per il testo nascosto che non posso aprire, non ti preoccupare non è dovuto a problemi del forum.
E' dovuto al fatto che mi trovo in cina per lavoro adesso e qui tutto c'è che arriva dall'occidente (youtube, google, facebook, e molto altro) è bloccato da governo.
Secondo me è molto probabile che dipenda dal fatto che le pagine del forum non riescano ad accedere correttamente alle API di google e quindi molti effetti grafici si bloccano.
Appena torno in italia (spero presto) provo di nuovo e vedo se va tutto bene. Non state a diventare matti a cercare di risolvere problemi che magari non dipendono da voi
@ciampax:
per quanto riguarda la base del secondo sottospazio vettoriale, si può dire che è una base solo perchè sono due matrici linearmente indipendenti?
Intendo dire che ovviamente gli elementi di una base sono linearmente indipendenti, ma di solito una base io cerco di rappresentarla con vettori (o matrici) in cui compaiano 0, 1 o -1.
So che non è un requisito il fatto che compaiano solo quei valori. Mi chiedevo solo se tu avessi fatto qualche ragionamento in più oltre al vedere che sono linearmente indipendenti per trovare quella base.
Una cosa invece che non ha a che fare con l'esercizio ma che è relativa al tuo post:
ti preciso che io non sono uno studente di alcuna facoltà in cui si studi nulla di tutto questo. Sono una persona che è appassionata di matematica e quando posso cerco di portarmi avanti da solo partendo dalle base che ho acquisito prendendo un diploma di laurea (la vecchia laurea breve) ormai 12 anni fa, in cui queste cose non sono mai state neanche lontanamente viste.
Pertanto sì, di teoria me ne manca tanta e cerco di impararla come posso senza nessuno che mi dia spiegazioni.
Quello che faccio lo faccio nei ritagli di tempo alla fine della mia giornata di lavoro
Sono consapevole di aver detto una cosa priva di senso, infatti mi sono corretto spiegando che non mi riferivo alla matrice ma allo spazio vettoriale, scrivendo di fretta ho scritto una cosa per un'altra.
Mi pare però che il tuo post si potesse scrivere con un tono un po' meno acceso. Anche io ogni tanto ho modo di aiutare altri qui, e più di una volta ho letto delle castronerie spaventose, ma siccome penso che sia lo spirito del forum aiutare le persone che hanno difficoltà, ho cercato di metterci pazienza e spiegare loro le cose in modo più semplice senza però pubblicamente sottolineare la loro ignoranza.
Se una persona invia dei post su questo forum, normalmente è perchè ha bisogno di aiuto, se tra le varie risposte che riceve viene fatto notare quante lacune essa abbia, credi che questo possa motivarle ad andare avanti e a cercare di chiarire i suoi dubbi? A mio parere non fa altro che demoralizzarle
purtroppo il tuo off--topic non lo posso leggere. Non mi si apre il testo nascosto.
Immagino fosse per il problema del tool per le formule che non funziona.
In tal caso, come per il testo nascosto che non posso aprire, non ti preoccupare non è dovuto a problemi del forum.
E' dovuto al fatto che mi trovo in cina per lavoro adesso e qui tutto c'è che arriva dall'occidente (youtube, google, facebook, e molto altro) è bloccato da governo.
Secondo me è molto probabile che dipenda dal fatto che le pagine del forum non riescano ad accedere correttamente alle API di google e quindi molti effetti grafici si bloccano.
Appena torno in italia (spero presto) provo di nuovo e vedo se va tutto bene. Non state a diventare matti a cercare di risolvere problemi che magari non dipendono da voi
@ciampax:
per quanto riguarda la base del secondo sottospazio vettoriale, si può dire che è una base solo perchè sono due matrici linearmente indipendenti?
Intendo dire che ovviamente gli elementi di una base sono linearmente indipendenti, ma di solito una base io cerco di rappresentarla con vettori (o matrici) in cui compaiano 0, 1 o -1.
So che non è un requisito il fatto che compaiano solo quei valori. Mi chiedevo solo se tu avessi fatto qualche ragionamento in più oltre al vedere che sono linearmente indipendenti per trovare quella base.
Una cosa invece che non ha a che fare con l'esercizio ma che è relativa al tuo post:
"ciampax":
Non è la matrice ad avere dimensione, è lo spazio vettoriale. Ma tu un po' di teoria l'hai letta? Perché mi pare che non conosca tante, ma tante, ma tante cose, visto l'immane "cavolata" (per essere fini) che hai appena sparato!!!!!
ti preciso che io non sono uno studente di alcuna facoltà in cui si studi nulla di tutto questo. Sono una persona che è appassionata di matematica e quando posso cerco di portarmi avanti da solo partendo dalle base che ho acquisito prendendo un diploma di laurea (la vecchia laurea breve) ormai 12 anni fa, in cui queste cose non sono mai state neanche lontanamente viste.
Pertanto sì, di teoria me ne manca tanta e cerco di impararla come posso senza nessuno che mi dia spiegazioni.
Quello che faccio lo faccio nei ritagli di tempo alla fine della mia giornata di lavoro
Sono consapevole di aver detto una cosa priva di senso, infatti mi sono corretto spiegando che non mi riferivo alla matrice ma allo spazio vettoriale, scrivendo di fretta ho scritto una cosa per un'altra.
Mi pare però che il tuo post si potesse scrivere con un tono un po' meno acceso. Anche io ogni tanto ho modo di aiutare altri qui, e più di una volta ho letto delle castronerie spaventose, ma siccome penso che sia lo spirito del forum aiutare le persone che hanno difficoltà, ho cercato di metterci pazienza e spiegare loro le cose in modo più semplice senza però pubblicamente sottolineare la loro ignoranza.
Se una persona invia dei post su questo forum, normalmente è perchè ha bisogno di aiuto, se tra le varie risposte che riceve viene fatto notare quante lacune essa abbia, credi che questo possa motivarle ad andare avanti e a cercare di chiarire i suoi dubbi? A mio parere non fa altro che demoralizzarle
@Summerwind78
Ok, grazie. Allora è per quello: niente api di Google, niente jQuery. Ho cambiato CDN, prova a vedere se ora funziona (non mi piacciono le censure...
).P.S. Gli ultimi due paragrafi della tua risposta starebbero bene nel regolamento, IMO.
Ci tengo a precisare che non me la sono presa per quel post. Tantomeno sono arrabbiato con Ciampax. Assolutamente no anzi, sono il primo a dire che ho scritto una castroneria.
Sorry, purtroppo quando esterno determinate cose non riesco a fare a meno di essere rude. Fatto sta che, ti rendi conto da te, esprimere determinate cose in determinato modo fa"cadere le braccia" a chi viene a leggere un posto. A prescindere di cosa tu stia facendo, in ogni caso, è sempre meglio, prima di approcciarsi alla pratica, conoscere la teoria, perché l'affermazione che hai fatto fa scadere il discorso nel ridicolo (intendo quella questione sulla dimensione).
Una base non è necessariamente fatta solo di 1 e 0, e visto che si parla di matrici, non è detto che tu debba vedere un vettore "lineare" come elemento di base. Vedi, sulla base di questa tua domanda posso affermare, di nuovo, che non hai studiato attentamente (e compreso) il concetto di base e di spazio vettoriale, che ti invito a rivedere.
Una base non è necessariamente fatta solo di 1 e 0, e visto che si parla di matrici, non è detto che tu debba vedere un vettore "lineare" come elemento di base. Vedi, sulla base di questa tua domanda posso affermare, di nuovo, che non hai studiato attentamente (e compreso) il concetto di base e di spazio vettoriale, che ti invito a rivedere.
E io posso affermare, di nuovo, che è vero che non ho studiato attentamente, l'ho già detto nel post precedente.
E il tuo "di nuovo" non fa altro che deridere ancora una volta pubblicamente la mia ignoranza in materia, esattamente come definire che il discorso scada nel ridicolo, certe cose possono essere ridicole per te che hai le idee ben chiare e ammetto che sarei molto felice di poterle avere anche io altrettanto chiare, ma magari per persone come me che hanno una conoscenza molto più limitata della materia e le idee parecchio confuse, poi tanto ridicole non lo sono.
Apprezzo davvero l'aiuto che mi hai dato, anche perchè mi ha permesso di capire un po' di più alcune cose, o almeno a schiarirmi le idee, ma se chiedere chiarimenti in un forum che si offre di venire in aiuto a persone in difficoltà significhi farsi additare come ignorante sinceramente fa passare la voglia di scrivere.
A me verrebbe da pensare che se qualcuno si iscrive in questo forum con lo spirito di aiutare gli altri debba mettere in conto di dover essere alle volte parecchio comprensivo nei confronti degli altri utenti.
Ma è solo la mia opinione, magari la vedo nel modo sbagliato io
@anonymous_be1147: funziona benissimo ora grazie
E il tuo "di nuovo" non fa altro che deridere ancora una volta pubblicamente la mia ignoranza in materia, esattamente come definire che il discorso scada nel ridicolo, certe cose possono essere ridicole per te che hai le idee ben chiare e ammetto che sarei molto felice di poterle avere anche io altrettanto chiare, ma magari per persone come me che hanno una conoscenza molto più limitata della materia e le idee parecchio confuse, poi tanto ridicole non lo sono.
Apprezzo davvero l'aiuto che mi hai dato, anche perchè mi ha permesso di capire un po' di più alcune cose, o almeno a schiarirmi le idee, ma se chiedere chiarimenti in un forum che si offre di venire in aiuto a persone in difficoltà significhi farsi additare come ignorante sinceramente fa passare la voglia di scrivere.
A me verrebbe da pensare che se qualcuno si iscrive in questo forum con lo spirito di aiutare gli altri debba mettere in conto di dover essere alle volte parecchio comprensivo nei confronti degli altri utenti.
Ma è solo la mia opinione, magari la vedo nel modo sbagliato io
@anonymous_be1147: funziona benissimo ora grazie
Salve Summerwind78, ti segnalo queste dispense per meglio appronfondire un po' di algebra lineare http://www.dm.uniba.it/~lotta/geo1_2009_lotta.pdf
La teoria qui è trattata in maniera dignitosa.
http://www.dm.uniba.it/~lotta/geo1_2009_lotta.pdfLa teoria qui è trattata in maniera dignitosa.
Grazie mille davvero
cerco di guardarmelo appena possibile
cerco di guardarmelo appena possibile
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