Problema con superficie "strana"

[rikytoro1]

Ciao a tutti!il mio problema è: sia S la superficie di $R^3$ definita da $X(u,v)=(u+u^2*v,(u^2/2)-2*u*v,(u^3/3)+v)$ stabilire se S è regolare.
Guardando la carta non riesco a classificare la superficie:non mi sembra di rivoluzione,non è controimmagine di valore regolare, non è grafico di una funzione...ho provato anche a fare un po' di "manovre" perché ho pensato magari che fosse mascherata, però non sono riuscito a ricavarne nulla...quindi sono passato alla definizione però anche lì non riesco a dimostrare l'iniettività della carta ...come posso fare?
Grazie per l'aiuto!

[orazioster]

Una superficie è regolare
se è una funzione almeno di classe $C^1$ sul dominio di definizione;
e se il vettore normale per ogni punto è mai
nullo: ovvero
che i vettori derivate-linee coordinate
1) mai si annullino, l'uno o l'altro;
E
2) non siano paralleli.

Nel tuo caso la funzione è continua su tutto $RR^2$.

Le derivate parziali
$\partialu.S= (2uv+1, u -2v, u)$;
$\partialv.S= (u^2, -2u,1)$ sono continue
e mai
l'una o l'altra il vettore nullo.
Vediamo il prodotto vettoriale:$ (\partialu.S)X(\partialv.S) = ( -2u^2 +u-2v , u^3-2uv-1, -u(u^2 +2uv +2))$, eh!
verifica se s'annulli! (e se ho sbagliato qualche conto)
Bye.

[orazioster]

L'iniettività, se io non sbagli, è
una condizione ulteriore (sufficiente certamente, necessaria? ora vedo...) che
la superficie sia orientabile (ovviamente
dev'essere univocamente definibile una normale
per ogni punto dell'immagine).

Per controllare l'iniettività, semplicemente poni $S(u_1,u_2)=S(u_2,v_2)$ e
vedi se, o meno, ne consegua $(u_1,v_1)=(u_2,v_2)$.