Problema con spazio generato
Salve ieri ho fatto l'esame di geometria e ho trovato questo esercizio: Supponiamo che lo spazio delle colonne di A, con tre righe e due colonne, sia generato da $ ( ( 1 ),( 2 ),( 9 ) ) $ dire se AX= $ ( ( 5 ),( 10 ),( 15 ) ) $ è risolubile.
Ho cercato di farlo ma non sono proprio riuscita a capire da dove iniziare. Potreste darmi una mano spiegandomi non solo questo caso specifico ma una cosa più generale? Grazie
Ho cercato di farlo ma non sono proprio riuscita a capire da dove iniziare. Potreste darmi una mano spiegandomi non solo questo caso specifico ma una cosa più generale? Grazie
Risposte
Date le ipotesi, $A$ è una matrice formata da due vettori colonna del tipo $\lambda((1),(2),(9)), \mu((1),(2),(9))$ per due certi numeri reali $\lambda, \mu$. Possiamo supporre che almeno uno di questi due numeri reali sia non nullo, ad esempio $\mu\ne 0$. Chiaramente $rank A =1$.
Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema $A\mathbf{x} = ((5),(10),(15))$ ha soluzione se e solo se $rank A = rank A|\mathbf{b}$ (dove con $A|b$ indico la matrice completa del sistema).
Consideriamo il seguente minore di $A|\mathbf{b}$:
$|(a_{22,\mathbf{b}_2}),(a_{32,\mathbf{b}_3})|=|(\mu 2, 10),(\mu 9, 15)|=\mu(30-90)\ne 0\Rightarrow rank A|\mathbf{b}=2$ quindi il sistema non ha soluzione.
Chiaro?
Paola
Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema $A\mathbf{x} = ((5),(10),(15))$ ha soluzione se e solo se $rank A = rank A|\mathbf{b}$ (dove con $A|b$ indico la matrice completa del sistema).
Consideriamo il seguente minore di $A|\mathbf{b}$:
$|(a_{22,\mathbf{b}_2}),(a_{32,\mathbf{b}_3})|=|(\mu 2, 10),(\mu 9, 15)|=\mu(30-90)\ne 0\Rightarrow rank A|\mathbf{b}=2$ quindi il sistema non ha soluzione.
Chiaro?
Paola
Grazie mille sei stata molto chiara
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