Problema con Sistemi Lineari
Ciao a tutti, come al solito ho prima utilizzato la funzione "cerca" per vedere se questo argomento fosse stato già trattato ma non ho trovato nulla di simile.
Dunque, ho un problema nella risoluzione di due esercizi riguardanti i sistemi lineari.
1)La prima tipologia di esercizio con cui mi trovo in difficoltà mi chiede di aggiungere delle equazione a due già esistenti affinchè possa costruire un sistema lineare con la sola soluzione nulla.
Esempio: Siano date le equazioni $y+z-t=0$ e $x-y+z=0$ . Aggiungere delle equazioni in modo da ottenere un sistema lineare con la sola soluzione nulla.
Allora, qui ho ragionato subito partendo col fatto che devo ottenere $oo^0$ soluzioni, quindi dovrò trovarmi con una matrice dei coefficienti del sistema pari a con almeno 4 righe o colonne per ottenere rango 4, quindi rango massimo.
La mia domanda è: come estrapolo le due equazioni da aggiungere? Io ho provato ad aggiungere due equazioni a caso, ma non avevo rango 4, bensì rango 3.
2) La seconda tipologia di esercizio, chiede di determinare il valore del parametro reale "k" affinchè il sistema ammetta la sola soluzione nulla.
Esempio: Stabilire per quali valori di $kinRR$ il seguente sistema ammette la sola soluzione nulla: $\{(kx_1 + x_2 + x_3 = 0),(x_1+(1-k)x_2+2x_3=0),(x_1 + 2kx_2=0):}$
Ammetto che questo esercizio non so farlo. Ho provato a calcolare la k però non mi trovavo alla fine con i conti...
Capisco che i calcoli in gioco siano abbastanza lunghi, quindi sarei ben contento di ricevere anche solo una linea guida per capire come svolgere il tutto.
Grazie in anticipo!
Dunque, ho un problema nella risoluzione di due esercizi riguardanti i sistemi lineari.
1)La prima tipologia di esercizio con cui mi trovo in difficoltà mi chiede di aggiungere delle equazione a due già esistenti affinchè possa costruire un sistema lineare con la sola soluzione nulla.
Esempio: Siano date le equazioni $y+z-t=0$ e $x-y+z=0$ . Aggiungere delle equazioni in modo da ottenere un sistema lineare con la sola soluzione nulla.
Allora, qui ho ragionato subito partendo col fatto che devo ottenere $oo^0$ soluzioni, quindi dovrò trovarmi con una matrice dei coefficienti del sistema pari a con almeno 4 righe o colonne per ottenere rango 4, quindi rango massimo.
La mia domanda è: come estrapolo le due equazioni da aggiungere? Io ho provato ad aggiungere due equazioni a caso, ma non avevo rango 4, bensì rango 3.
2) La seconda tipologia di esercizio, chiede di determinare il valore del parametro reale "k" affinchè il sistema ammetta la sola soluzione nulla.
Esempio: Stabilire per quali valori di $kinRR$ il seguente sistema ammette la sola soluzione nulla: $\{(kx_1 + x_2 + x_3 = 0),(x_1+(1-k)x_2+2x_3=0),(x_1 + 2kx_2=0):}$
Ammetto che questo esercizio non so farlo. Ho provato a calcolare la k però non mi trovavo alla fine con i conti...
Capisco che i calcoli in gioco siano abbastanza lunghi, quindi sarei ben contento di ricevere anche solo una linea guida per capire come svolgere il tutto.
Grazie in anticipo!
Risposte
Per il primo esercizio: Conosci la riduzione di Gauss?
Per il secondo esercizio: conosci la riduzione di Gauss?
Gauss è la chiave di tutto.
Per il secondo esercizio: conosci la riduzione di Gauss?
Gauss è la chiave di tutto.
Grazie di avermi risposto. Si la conosco, però non riesco a capire in che modo possa risultarmi utile
Nel primo hai che le due equazioni sono già ridotte a scala, pertanto ti basterà aggiungere due altre qualsiasi equazioni in modo che risulti ancora ridotto a scala:
Se nell'ordine le variabili del sistema sono $x,y,z,t$, le equazioni da aggiungere possono essere, per esempio:
${ ( z+t=0 ),( t=0 ):}$
Infatti il sistema costituito da queste $$ equazioni e quelle di partenza è ridotto a scala e pertanto l'unica soluzione è il vettore nullo $x=y=z=t=0$
Nel secondo fai la stessa cosa, ossia riduci quel sistema con gauss, ti verrà un sistema ridotto a scala in cui le prime due righe non contengono $k$ mentre la terza contiene un termine in funzione di k, se quel termine si annulla allora vi sono infinite soluzioni, se non si annulla allora c'è solo la soluzione nulla.
Se nell'ordine le variabili del sistema sono $x,y,z,t$, le equazioni da aggiungere possono essere, per esempio:
${ ( z+t=0 ),( t=0 ):}$
Infatti il sistema costituito da queste $$ equazioni e quelle di partenza è ridotto a scala e pertanto l'unica soluzione è il vettore nullo $x=y=z=t=0$
Nel secondo fai la stessa cosa, ossia riduci quel sistema con gauss, ti verrà un sistema ridotto a scala in cui le prime due righe non contengono $k$ mentre la terza contiene un termine in funzione di k, se quel termine si annulla allora vi sono infinite soluzioni, se non si annulla allora c'è solo la soluzione nulla.
Ti ringrazio tantissimo! In fondo era una cosa semplice, però non riuscivo a capire come fare.
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