Problema con sistema parametrico

[Lola_951]

Salve a tutti! Studiando algebra lineare ho incontrato un po' di difficoltà con i sistemi parametrici; non tanto nella risoluzione bensì nella discussione.
Prendendo in esame questo sistema:

x1-2x2+kx3=-k
-x1 +(k+3)x2 -kx3= -k
2x1 -4x2+3kx3 = -k-3

Innanzitutto ho cercato il determinante e viene k(k+1), quindi mi trovo a studiare tre casi.
1) k diverso da zero e diverso da -1 (perchè in questi casi, il determinante di annullerebbe)
2) k=-1
3) k =0

Per quanto riguarda k diverso da zero, e k diverso da -1 ho applicato il metodo di Cramer e quindi escono 3 soluzioni in funzione di k.

Per quanto riguarda k=-1 e k=0 ho risolto il sistema trasformandolo in matrice e applicando il procedimento di Gauss (sostituendo a k prima -1 e poi 0) e due i sistemi mi escono impossibili.

Ora, le richieste dell'esercizio sono le seguenti:
1)Per quali valori del parametro k il sistema ammette soluzioni.
2)Per quali valori del parametro k il sistema possiede più di una soluzione
3)Le soluzioni del sistema quando sono più di una
4)La soluzione del sistema quando è unica

Per la 1) presumo che i valori del parametro k quando il sistema ammette soluzioni sono per k diverso da 0 e per k diverso da -1, giusto? Visto che in k=0 e k=-1 i sistemi escono impossibili

Per il resto invece come devo procedere?
Grazie a tutti in anticipo!!!

[piergiorgiof1]

Ci sono due metodi per risolvere un sistema parametrico: puoi ridurre a gradini direttamente la matrice completa e vedere così il rango e come questo varia al variare di k. Personalmente preferisco però il secondo metodo ovvero:

Scrivo la matrice incompleta A (senza i termini noti) e vedo per quali valori di $k$ il determinante è zero, ovvero il rango non è massimo (in questo caso quando non è 3)

[tex]A = \begin{bmatrix}
1 & -2 & k\\ -1 & k+3 & -k\\ 2 & -4 & 3k
\end{bmatrix}[/tex]

Svolgendo il determinante e ponendolo uguale a zero, ottengo che i valori $k=0$ e $k=-1$ mi fanno avere rango 2.
Se sostituendo questi due valori, uno per volta, alla matrice completa ottenessi rango 2, il sistema sarebbe compatibile e avrebbe infinito elevato 1 soluzioni (numero di incognite - rango, teorema di Rouchè-Capelli), in caso contrario sarebbe incompatibile.
Quindi cominciando dal valore $k=0$ riduco a gradini la matrice completa per vedere che rango ha:

[tex](A|b)_r = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 & 0\\ -1 & 3 & 0 & 0\\ 2 & -4 & 0 & -3
\end{bmatrix}[/tex]

Dopo le seguenti trasformazioni ottengo: $R_3$->$R_1$, $R_3$->$R_3$+$R_2$

[tex](A|b)_r = \begin{bmatrix}
2 & 4 & 0 & -3\\ -1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/tex]

Avendo per ogni riga l'elemento speciale, possiamo notare che la matrice completa ha rango 3, quindi il sistema è incompatibile perchè non è uguale al rango di A.
Fai lo stesso con l'altro autovalore $k=-1$ ed hai finito.

Per tutte le altre soluzioni diverse da 0 e -1 il sistema avrà per il teorema di Rouchè-Capelli una sola soluzione che puoi determinare ad esempio utilizzando Cramer.

Quindi le risposte sarebbero:
1) Il sistema ammette soluzioni per ogni k tranne 0 (ed eventualmente -1 da provare con lo stesso metodo)
2) Se anche per $k=-1$ il sistema è incompatibile il sistema non ammette mai più di una soluzione, in caso contrario proprio per $k=-1$
3) Le soluzioni del sistema sono più di una se rango(A)=rango(A|b)<3
4) La soluzione del sistema è unica se rango(A)=rango(A|b)=3 cioè per ogni $k$ tranne 0 e -1

Ti chiedo scusa in anticipo per eventuali errori ma il tuo sistema non era scritto chiaramente e ho svolto i calcoli abbastanza al volo, magari rifalli e avvertimi se trovi qualcosa che non và, il metodo comunque dovrebbe essere quello