Problema con Molteplicità geometrica di autovettori
Salve a tutti, ho questo esercizio:
Determinare una base di autovettori per l'applicazione $ h : R^3 -> R^3 $ tale che $ h(x; y; z)=(2x + 2y + 2z; 2x + 2y + 2z; 2x + 2y + 2z). $ Scrivere la matrice di h rispetto a tale base sia nel dominio che nel codominio, e la matrice di h rispetto alla base canonica nel dominio e alla base di autovettori nel codominio.
Con questi esercizi non ho mai avuto problemi ma in questo caso si perchè come potete vedere la matrice rappresentante l'applicazione ha dei vettori LD (linearmente dipendenti).
Calcolando infatti con il polinomio caratteristico gli autovettori si mi sballano tutti i calcoli, perquesto vi chiedo:
avete mai incontrato situazioni simili? se si come procedere? Grazie.
Determinare una base di autovettori per l'applicazione $ h : R^3 -> R^3 $ tale che $ h(x; y; z)=(2x + 2y + 2z; 2x + 2y + 2z; 2x + 2y + 2z). $ Scrivere la matrice di h rispetto a tale base sia nel dominio che nel codominio, e la matrice di h rispetto alla base canonica nel dominio e alla base di autovettori nel codominio.
Con questi esercizi non ho mai avuto problemi ma in questo caso si perchè come potete vedere la matrice rappresentante l'applicazione ha dei vettori LD (linearmente dipendenti).
Calcolando infatti con il polinomio caratteristico gli autovettori si mi sballano tutti i calcoli, perquesto vi chiedo:
avete mai incontrato situazioni simili? se si come procedere? Grazie.
Risposte
L'esercizio consiste nel trovareuna base di autovettori ovvero, diagonalizzo la matrice trovo gli autovalori, imposto il sistema e trovo una base di autovettori, ma come ho detto prima non ci resco perchè alcune righe sono LD quindi non mi esce il cacolo degli atuovalori grazie.
prima di tutto ti volevo ringraziare per l'attenzione che mi stai dando, poi tornando all'esercizio:
per trovare il polinomio caratterstico io diagonalizzo A, poi mi calcolo il determinante (equazione di 3° grado), trovati i valori dell'equazioni li sostituisco alla matrice diagonalizzata, imposto il sistema e trovo gli autovettori generati dai rispettivi autovalori.
Nel suo invervento precedente mi ha detto che la matrice di f rispetto la base canonica non è diagonalizzabile perchè non ha rango pieno, allora le chiedo:
Come faccio a calcolarmi gli autovalori senza diagonalizzare?
Grazie.
per trovare il polinomio caratterstico io diagonalizzo A, poi mi calcolo il determinante (equazione di 3° grado), trovati i valori dell'equazioni li sostituisco alla matrice diagonalizzata, imposto il sistema e trovo gli autovettori generati dai rispettivi autovalori.
Nel suo invervento precedente mi ha detto che la matrice di f rispetto la base canonica non è diagonalizzabile perchè non ha rango pieno, allora le chiedo:
Come faccio a calcolarmi gli autovalori senza diagonalizzare?
Grazie.
Forse mi sono spiegato male, per cercare gli autovalori inserisco sulla diagonale PRINCIPALE della marice (quella costruita rispetto la base canonica) $ (-lambda) $.
Fatto questo calcolo il determinante e nel caso di una matrice $ 3x3 $ avrò u'equazione di 3 grado.
Risolvo questa equazione ed otterrò i relativi AUTOVALORI.
Matrice per trovare gli autovalori:
$ | ( 2-lambda , 2 , 2 ),( 2, 2-lambda , 2 ),( 2 , 2 , 2-lambda ) | $
Calcolo il determianente ed ho l'equzione:
$ -lambda^3+6lambda^2 $
che come soluzioni ha:
$ lambda_1=6 $
$ lambda_2=0 $
Sostituisco i valori alla matrice sopra indicata, imposto il sistema e trovo vgli autovettori per i rispettivi autovalori trovati, cosa c'è di sbagliato nel mio procedimento?
Fatto questo calcolo il determinante e nel caso di una matrice $ 3x3 $ avrò u'equazione di 3 grado.
Risolvo questa equazione ed otterrò i relativi AUTOVALORI.
Matrice per trovare gli autovalori:
$ | ( 2-lambda , 2 , 2 ),( 2, 2-lambda , 2 ),( 2 , 2 , 2-lambda ) | $
Calcolo il determianente ed ho l'equzione:
$ -lambda^3+6lambda^2 $
che come soluzioni ha:
$ lambda_1=6 $
$ lambda_2=0 $
Sostituisco i valori alla matrice sopra indicata, imposto il sistema e trovo vgli autovettori per i rispettivi autovalori trovati, cosa c'è di sbagliato nel mio procedimento?
Fatto tutto ciò ho 2 autovettori:
Il primo relativo all'autovalore 6:
$ (-7/5t , 1/5t , t) -> t=1 -> (-7/5 , 1/5 , 1) $
Il secondo autovettore è relativo all'autovalore 0 quindi avrò un sistema con $ oo^2 $ soluzioni:
$ (-t+3s , t , s) -> (2 , 1 , 1) $
Adesso devo scrivere la matrice di h rispetto a tale base $ B: <(-7/5 , 1/5 , 1),(2 , 1 , 1)> $ sia nel dominio che nel codominio, e la matrice di h rispetto alla base canonica nel dominio e alla base di autovettori nel codominio.
Eseguo la consegna: scrivere la matrice di h rispetto a tale base $ B: <(-7/5 , 1/5 , 1),(2 , 1 , 1)> $ sia nel dominio che nel codominio
$ C^-1 * A * B $
C= matrice base codominio
A= matrice h rispetto la base canonica
B= matrice base codominio.
E' qui che nasca il problema, infatti come faccio a calcolarmi l'inversa di C $ (C^-1) $ ?
Se i vettori della matrice fossero L.I avrei una matrice base di AUTOVETTORI 3x3 e non avrei questo problema.
Era questo il punto. Grazie
Il primo relativo all'autovalore 6:
$ (-7/5t , 1/5t , t) -> t=1 -> (-7/5 , 1/5 , 1) $
Il secondo autovettore è relativo all'autovalore 0 quindi avrò un sistema con $ oo^2 $ soluzioni:
$ (-t+3s , t , s) -> (2 , 1 , 1) $
Adesso devo scrivere la matrice di h rispetto a tale base $ B: <(-7/5 , 1/5 , 1),(2 , 1 , 1)> $ sia nel dominio che nel codominio, e la matrice di h rispetto alla base canonica nel dominio e alla base di autovettori nel codominio.
Eseguo la consegna: scrivere la matrice di h rispetto a tale base $ B: <(-7/5 , 1/5 , 1),(2 , 1 , 1)> $ sia nel dominio che nel codominio
$ C^-1 * A * B $
C= matrice base codominio
A= matrice h rispetto la base canonica
B= matrice base codominio.
E' qui che nasca il problema, infatti come faccio a calcolarmi l'inversa di C $ (C^-1) $ ?
Se i vettori della matrice fossero L.I avrei una matrice base di AUTOVETTORI 3x3 e non avrei questo problema.
Era questo il punto. Grazie
salve, grazie per il suo aiuto ma non mi è chiara ancora una cosa, che è la stessa che mi assilla da un paio di giorni.
A parte il calcolo sbagliato degli autovettori, non ho capito qual'è la terza componente della basse $ B $ formata dagli autovettori, quindi le chiedo:
Se ho due autovalori $ (lambda=6 lambda=0) $ di conseguenza non ho due autovettori? dov'è il terzo, che sarebbe la terza componente della base $ B $ ?
Tutto il resto l'ho capito benissimo, è solo questo fatto degli autovettori formanti la base che non riesco a capire.
Mi scuso per il disturbo.
A parte il calcolo sbagliato degli autovettori, non ho capito qual'è la terza componente della basse $ B $ formata dagli autovettori, quindi le chiedo:
Se ho due autovalori $ (lambda=6 lambda=0) $ di conseguenza non ho due autovettori? dov'è il terzo, che sarebbe la terza componente della base $ B $ ?
Tutto il resto l'ho capito benissimo, è solo questo fatto degli autovettori formanti la base che non riesco a capire.
Mi scuso per il disturbo.
sul mio libro ci sono esattamente 9 paggine che trattano TUTTE le applicazioni lineari, in modo sconsiderato enon è solo una mia opinione,
comunque cercherò di risolvere questa carenza grazie per il tuo aiuto
comunque cercherò di risolvere questa carenza grazie per il tuo aiuto
Rieccomi ho trovato un file che sembra aver risolto i miei dubbi su questa parte di teoria, scrivo quello che ho capito cosi mi puoi dare conferma:
Quando ricerco gli autovalori ed ho un'equzione del tipo: $ (3-lambda)^2(4-lambda) $ ho due autovalori coincidenti:
$ lambda_1=lambda_2=3 $
$ lambda_3=4 $
Quindi quando ricerco gli autovettori con l'autovalore $ lambda=3 $ (che ha molteplicità algebrica 2) ho un sitema con due parametri,
sostituisco ai paremtri dei valori (ex. $ t=1 s=0 $ ) ed avrò un autovettore.
Poi sostituisco ai parametri altri valori (ex. $ t=0 s=1 $) ed avrò un secondo autovetore.
Questi autovettori che ho trovato sono relativi ai due autovalori COINCIDENTI, era questo che non capivo prima.
Quindi quando un polinomio caratteristico ha soluzioni conincidenti i parametri vanno sostituiti due volte.
Ovviamente se avevo molteplicità geometrica uguale a 3 avrei fatto questo procedimento per 3 volte.
Fammi sapre se ho capito male qualche cosa, grazie per l'aiuto.
Quando ricerco gli autovalori ed ho un'equzione del tipo: $ (3-lambda)^2(4-lambda) $ ho due autovalori coincidenti:
$ lambda_1=lambda_2=3 $
$ lambda_3=4 $
Quindi quando ricerco gli autovettori con l'autovalore $ lambda=3 $ (che ha molteplicità algebrica 2) ho un sitema con due parametri,
sostituisco ai paremtri dei valori (ex. $ t=1 s=0 $ ) ed avrò un autovettore.
Poi sostituisco ai parametri altri valori (ex. $ t=0 s=1 $) ed avrò un secondo autovetore.
Questi autovettori che ho trovato sono relativi ai due autovalori COINCIDENTI, era questo che non capivo prima.
Quindi quando un polinomio caratteristico ha soluzioni conincidenti i parametri vanno sostituiti due volte.
Ovviamente se avevo molteplicità geometrica uguale a 3 avrei fatto questo procedimento per 3 volte.
Fammi sapre se ho capito male qualche cosa, grazie per l'aiuto.
Grazie 1000, rispiegandomi il tutto hai confermato quello che intendevo prima che ho espresso sicuramente male.
Intendevo dire che quando ho due parametri sostituisco prima $ t=0 s=1 $ ed ho il primo autovettore,
poi sostituisco $ t=1 s=0 $ ed ho il secondo autovettore. Cosi mi è stato insegnato dal mio professore, però ho visto che con il tuo metodo è molto più chiaro e semplice.
Basta prendere i coefficienti di $ s $ e $ t $ ed ho i due autovettori, grazie per l'aiuto e l'attenzione alla prossima ciao!
:D:D
Intendevo dire che quando ho due parametri sostituisco prima $ t=0 s=1 $ ed ho il primo autovettore,
poi sostituisco $ t=1 s=0 $ ed ho il secondo autovettore. Cosi mi è stato insegnato dal mio professore, però ho visto che con il tuo metodo è molto più chiaro e semplice.
Basta prendere i coefficienti di $ s $ e $ t $ ed ho i due autovettori, grazie per l'aiuto e l'attenzione alla prossima ciao!
:D:D
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