Problema con le proiezioni ortogonali
Ciao a tutti! Nell'esercizio che copio sotto non riesco a capire come sviluppare il punto c e di conseguenza il d. Qualcuno mi saprebbe aiutare? Grazie in anticipo.
" Nello spazio affine euclideo tridimensionale, sia π il piano di equazione 2x − y + z = 1
e siano A = (−1, 0, 3) e B = (2, 2, −1) due punti di π. Si indichi con C la circonferenza, contenuta nel
piano π, di centro A e passante per B.
(a) Si determinino le equazioni parametriche della retta s, contenuta nel piano π, passante per B e
tangente alla circonferenza C .
(b) Si determini il punto B0 ∈ C diametralmente opposto al punto B.
(c) Si determinino i due punti P1 e P2 la cui distanza dal piano π `e d = 2(6)^(1/2)
considerando che la proiezione dei due punti sul piano è A.
(d) Si determinino le distanze dei punti P1 e P2 dalla retta s trovata nel punto (a). "
" Nello spazio affine euclideo tridimensionale, sia π il piano di equazione 2x − y + z = 1
e siano A = (−1, 0, 3) e B = (2, 2, −1) due punti di π. Si indichi con C la circonferenza, contenuta nel
piano π, di centro A e passante per B.
(a) Si determinino le equazioni parametriche della retta s, contenuta nel piano π, passante per B e
tangente alla circonferenza C .
(b) Si determini il punto B0 ∈ C diametralmente opposto al punto B.
(c) Si determinino i due punti P1 e P2 la cui distanza dal piano π `e d = 2(6)^(1/2)
considerando che la proiezione dei due punti sul piano è A.
(d) Si determinino le distanze dei punti P1 e P2 dalla retta s trovata nel punto (a). "
Risposte
Dalla consegna si deduce che i punti $P_1,P_2$ si trovano sulla normale per A al piano $\pi$, da parte opposta
rispetto a tale piano e ad eguale distanza da esso.
Per i calcoli osserviamo che la normale di cui sopra ha equazioni :
\begin{cases}x+1=2t\\y=-t\\z-3=t \end{cases}
Pertanto il punto generico P di tale normale ha coordinate $P(2t-1,-t,t+3)$
La distanza di P da A deve essere $2\sqrt6$ percui si ha l'equazione in $t$:
$4t^2+t^2+t^2=24$
da cui si ricavano le soluzioni : $t=\pm 2$ che sostituite nelle coordinate di P danno i punti richiesti:
$P_1(3,-2,5),P_2(-5,2,1)$
Il calcolo della distanza di $P_1,P_2$ dalla retta $s$ è standard e lo puoi fare da te.
rispetto a tale piano e ad eguale distanza da esso.
Per i calcoli osserviamo che la normale di cui sopra ha equazioni :
\begin{cases}x+1=2t\\y=-t\\z-3=t \end{cases}
Pertanto il punto generico P di tale normale ha coordinate $P(2t-1,-t,t+3)$
La distanza di P da A deve essere $2\sqrt6$ percui si ha l'equazione in $t$:
$4t^2+t^2+t^2=24$
da cui si ricavano le soluzioni : $t=\pm 2$ che sostituite nelle coordinate di P danno i punti richiesti:
$P_1(3,-2,5),P_2(-5,2,1)$
Il calcolo della distanza di $P_1,P_2$ dalla retta $s$ è standard e lo puoi fare da te.
"sandroroma":
Dalla consegna si deduce che i punti $P_1,P_2$ si trovano sulla normale per A al piano $\pi$, da parte opposta
rispetto a tale piano e ad eguale distanza da esso.
Per i calcoli osserviamo che la normale di cui sopra ha equazioni :
\begin{cases}x+1=2t\\y=-t\\z-3=t \end{cases}
Pertanto il punto generico P di tale normale ha coordinate $P(2t-1,-t,t+3)$
La distanza di P da A deve essere $2\sqrt6$ percui si ha l'equazione in $t$:
$4t^2+t^2+t^2=24$
da cui si ricavano le soluzioni : $t=\pm 2$ che sostituite nelle coordinate di P danno i punti richiesti:
$P_1(3,-2,5),P_2(-5,2,1)$
Il calcolo della distanza di $P_1,P_2$ dalla retta $s$ è standard e lo puoi fare da te.
Quindi alla fine è sufficiente considerare i due punti come punti qualsiasi appartenenti alla retta normale al piano.
Non ci avevo proprio pensato! Grazie infinite
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