Problema con le applicazioni lineari

[xthegame89x]

Ciao a tutti! mi potete spiegare come si trova, in generale, l'immagine di un'applicazione lineare?

[sant92]

tipo fai un esempio che vedo di risponderti

[xthegame89x]

endomorfismo di R^4, f(a,b,c,d)=(1/2(a+b+c+d),1/2(a+b+c+d),b+d,1/2(a-b+c-d))

[sant92]

teoricamente e così: F $->$ W è un applicazione tra " K-spazi vettoriali di dimensione finita. Se B= {e1,e2,.......en} e C= { c1,c2,.....cm}, sono basi rispettivamente di V e W, per ogni vettore ej che appartiene a b, si possono considerare le m-uple delle coordinate del vettore immagine f(ej) rispetto alla basa C, se [f(ej)]= (a1j,a2j,......amj) la matrice
$((a11,a12,...,a1n),(a21,a22,...,a2n),(am1,am2,...,amn))$

adesso ti risolvo quella

[sant92]

rispetto alla base canonica avresti:
f(a)=1/2a,1/2a,0,1/2a = 1/2,1/2,0,1/2
f(b)=1/2b,1/2b,+b,-1/2b =1/2,1/2,1,-1/2
f(c)=1/2c,1/2c,0,1/2c =1/2,1/2,0,1/2
f(d)=1/2d,1/2d,1d,-1/2d =1/2,1/2,1,-1/2

poi metti f(a),f(b),f(c),f(d) in colonna e hai trovato la matrice associata all'applicazione lineare

[xthegame89x]

quella l'ho già trovata... volevo sapere come trovare l'immagine dell'applicazione lineare... che cos'è l'immagine dell'applicazione lineare?

[sant92]

una base dell'immagine?

[sant92]

cmq la base dell'immagine, per calcolarla devi ridurre a scala la tua matrice, poi dove compare il pivot (per pivot intendo che sotto questo numero ci sono solo 0), ora prendi il vettore colonna corrispondente, quello in colonna e quello è una base dell'immagine, perchè se B e un insieme di generatori di V , allora f(b) genera V