Problema con isomorfismi
Ciao a tutti!
Questo è il punto che ho capito di meno. Ossia come trovare degli isomorfismi. Ho il seguente esercizio:
Verificare quali fra i seguenti gruppi sono fra loro isomorfi:
$(U_15,*),(ZZ_15,+),(U_8,*),(ZZ_8,+),(U_12,*),(
Questo è il punto che ho capito di meno. Ossia come trovare degli isomorfismi. Ho il seguente esercizio:
Verificare quali fra i seguenti gruppi sono fra loro isomorfi:
$(U_15,*),(ZZ_15,+),(U_8,*),(ZZ_8,+),(U_12,*),(
,°)$
dove $p$ è una rotazione del piano di centro un punto fissato e angolo $theta=pi/4$. Scrivere un isomorfismo nei casi possibili.
Allora ad esempio prendo i primi due gruppi. La prof ci ha detto che dobbiamo trovare prima i sottogruppi del primo gruppo (possibilmente ciclici, ma non ho capito perché). Dopodiché devo considerare tutti i sottogruppi normali di $U_16$ e farci il quoziente e dopodiché non so che fare. Cioè come faccio a trovare (nel caso ci fosse) un sottogruppo di $ZZ_15$ che è isomorfo a $U_15//Ker$?
Grazie, spero di essere stato chiaro.
Risposte
Non c'è nessuno che mi può rispondere? Per favore, l'esonero si avvicina 
Nessuno risponde
Ma è una cosa lunga da spiegare? La parte di teoria io già la conosco, mi serve sapere come risolvere esercizi del genere.
Ma è una cosa lunga da spiegare? La parte di teoria io già la conosco, mi serve sapere come risolvere esercizi del genere.
allora una prima cosa che bisogna fare è vedere se i due gruppi hanno la stessa cardinalità in caso contrario ovviamente non sono isomorfi.. quindi si ha che $ZZ_15$ non è isomorfo a nessuno di quelli che hai elencato in quanto è l unico con ordine $15$.
a questo punto hai che
$U_8={1,3,5,7}$ che è isomorfo al gruppo di Klein in quanto $o(3)=o(5)=o(7)=2$ e $3*5=7$ mod $8$, stessa cosa per $U_12$ e quindi tali gruppi sono isomorfi e poi rimangono $U_15={1,2,4,7,8,11,13,14}$ e $(<\sigma>)$ e quest'ultimo è isomorfo al gruppo ciclico di $8$ elementi in quanto se tu esegui la rotazione di angolo $pi/4$ otto volte hai l 'identità e visto che $U_15$ non è ciclico hai che i due sottogruppi non possono eseere isomorfi.
a questo punto hai che
$U_8={1,3,5,7}$ che è isomorfo al gruppo di Klein in quanto $o(3)=o(5)=o(7)=2$ e $3*5=7$ mod $8$, stessa cosa per $U_12$ e quindi tali gruppi sono isomorfi e poi rimangono $U_15={1,2,4,7,8,11,13,14}$ e $(<\sigma>)$ e quest'ultimo è isomorfo al gruppo ciclico di $8$ elementi in quanto se tu esegui la rotazione di angolo $pi/4$ otto volte hai l 'identità e visto che $U_15$ non è ciclico hai che i due sottogruppi non possono eseere isomorfi.
Grazie finalmente qualcuno 
Quindi gli unici isomorfi sono $U_8$ e $U_12$? E sono isomorfi perché entrambi sono a loro volta isomorfi al gruppo di Klein? Cioè non ho capito se è una regola generale questa, nel senso che se due gruppi G e H sono isomorfi a un gruppo F allora G e H stessi sono isomorfi tra loro. Da quanto hai scritto mi sembra di aver capito questo.
Quindi gli unici isomorfi sono $U_8$ e $U_12$? E sono isomorfi perché entrambi sono a loro volta isomorfi al gruppo di Klein? Cioè non ho capito se è una regola generale questa, nel senso che se due gruppi G e H sono isomorfi a un gruppo F allora G e H stessi sono isomorfi tra loro. Da quanto hai scritto mi sembra di aver capito questo.
si proprio così.
Ho capito. Ma come fai a trovare questi isomorfismi in maniera così rapida?
Ah scusa poi c'è un tipo di esercizi che non è fatto così, ma del tipo:
Sia $U_12$ un gruppo e si consideri la seguente applicazione:
$f: U_12 -> U_12$
$ x -> x^2 $
Dimostrare che è un omomorfismo.
Come si procede in questi casi? Grazie ancora
Sia $U_12$ un gruppo e si consideri la seguente applicazione:
$f: U_12 -> U_12$
$ x -> x^2 $
Dimostrare che è un omomorfismo.
Come si procede in questi casi? Grazie ancora
in questi casi è facile basta che stdi la struttura dei gruppi e vedi subito se sono isomirfi .
per quest'altro esercizio basta che verifichi che $AAx,y\inU_12$ si ha che $f(xy)=f(x)f(y)$ che è la definizione di omomorfismo
per quest'altro esercizio basta che verifichi che $AAx,y\inU_12$ si ha che $f(xy)=f(x)f(y)$ che è la definizione di omomorfismo
Ok, grazie mille per l'aiuto 
prego e buono studio
Cmq scusa prima non era $Z_15$ ma $Z_4$ ho sbagliato a scrivere. Cmq vedendo il teorema di omomorfismo mi è parso di capire che devo vedere se il gruppo quoziente del dominio è isomorfo a qualche sottogruppo del codominio, per vedere se c'è un isomorfismo. Quindi ad esempio per vedere se $Z_4$ è isomorfo a $Z_8$, non posso fare l'assunzione che hai fatto tu all'inizio e cioè i due gruppi hanno cardinalità diversa allora non sono isomorfi, ma devo calcolare il quoziente rispetto a $Z_4$ e vedere se c'è qualche sottogruppo isomorfo in $Z_8$. E' un po' confuso questo punto.
allora:
due gruppi sono isomorfi se esiste un isomorfismo tra i due... ora un isomorfismo è un omomorfismo che sia suriettivo e iniettivo quindi un'applicazione biunivoca e quindi due gruppi isomorfi hanno la stessa cardinalità.
adesso se $G$ e $G^{\prime}$ sono due gruppi tali che esiste un omorfismo $F:G->G^{\prime}$ tale che $F$ sia suriettvo allora per il teorema di isomorfismo si ha che
$G//ker(F)$ è isomorfoa $G^{\prime}$ quindi se $F$ è anche iniettivo e quindi $ker(F)={id}$ allora si ha che i due gruppi sono isomorfi
due gruppi sono isomorfi se esiste un isomorfismo tra i due... ora un isomorfismo è un omomorfismo che sia suriettivo e iniettivo quindi un'applicazione biunivoca e quindi due gruppi isomorfi hanno la stessa cardinalità.
adesso se $G$ e $G^{\prime}$ sono due gruppi tali che esiste un omorfismo $F:G->G^{\prime}$ tale che $F$ sia suriettvo allora per il teorema di isomorfismo si ha che
$G//ker(F)$ è isomorfoa $G^{\prime}$ quindi se $F$ è anche iniettivo e quindi $ker(F)={id}$ allora si ha che i due gruppi sono isomorfi
Quindi quando due gruppi sono isomorfi, il $ker(F)={id}$ perché c'è sempre una relazione uno a uno no? E quindi l'$Im(F)$ è uguale a tutto il codominio (nel caso di un isomorfismo)? Credo di aver capito.
esatto
Ok ma alla fine questo $G//ker(F)$ lo devo calcolare oppure no (ammesso che la cardinalità tra due gruppi è la stessa)?
ammesso che i due gruppi hanno la stessa cardinalità e vuoi vedere s e tali gruppi sono isomorfi devi trovare un omorfismo tra i due che sia suriettivo e iniettivo e in questo caso $G/(ker(F))=G$ o meglio isomorfo a $G$
Ok, grazie. Ma quando nei testi degli esercizi c'è la frase "a meno di isomorfismi" ma che significa?
cioè ad esempio se hai uno spazio vettoriale $V$ ad esempio su $RR$ di dimensione $n$ si ha che $V$ è isomorfo a $RR^n$ e quindi che a meno di isomorfismi puoi considerare $V$ come un vero e proprio $RR^n$
Ah ecco, ora è chiaro. Grazie ancora
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