Problema con esercizio su spazi vettoriali

[andyoso]

Ciao a tutti,
Ho un problema con il seguente esercizio:

Sia U il sottospazio di $ R^5 $ di equazioni $ x1 + x2 + x3 + x4 - x5 = 0 $
I vettori:
$ A1= (1,-1,1,-1,0) $
$ A2= (1,0,1,0,2) $
$ A3= (1,1,0,1,3) $
$ A4= (3,0,2,0,5) $
$ A5= (2,2,1,2,7) $
$ A6= (2,-2,3,-2,1) $
sono un sistema di generatori di U?

Se $ S={A1,A2,A3,A4,A5,A6} $ , scrivere una base del sottospazio $ W=L(S) $ generato da S, che sia contenuta in S.


Allora per quanto riguarda la prima parte, per verificare che S=(A1,A2,A3,A4,A5,A6) è un sistema di generatori di U, devo trovare una base di quest'ultimo all'interno di S.
Ma questo significa che io devo conoscere la dimensione di U, e sinceramente non so proprio come calcolarmela in questa situazione.

Per quanto riguarda invece la seconda parte, cioè trovare la base del sottospazio di W;
essendo S un sistema di generatori di W per definizione di quest'ultimo basta semplicemente eliminare i vettori dipendenti...giusto?

Ed infine termino con un ultima richiesta: Esiste un metodo che non sia quello "ad occhio" per trovare i vettori dipendenti all'interno si S?

Vi ringrazio in anticipo per le risposte

[delano]

Stabilisci prima di tutto se quei vettori generano S, eventualmente eliminando quelli dipendenti.

Esiste un metodo che non sia "ad occhio" come dici, basta creare una matrice quadrata coi vettori e stabilirne il determinante. Se è uguale a zero allora ti conviene "dare un occhio" e vedere quale di loro è dipendente.