Problema con esercizio sottospazio vettoriale

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Ciao!...ho un problema con questo esercizio e non so prorprio come muovermi....

Si dica se l’insieme dei polinomi di grado maggiore o uguale a 2 di R3[x] `e un sottospazio vettoriale di R3[x].
Si motivi accuratamente la risposta.

Allora so che un insieme per essere un sottospazio vettoriale deve soddisfare le 2 proprietà:
1-Se v1 e v2 appartenngono a W allora anche v1+v2 deve appartenere a W;
2-moltiplicazione per uno scalare: se v apparteiene a W e y appartiene a R allora y*v appartiene a W;

ma non so proprio come risolverlo....

Qualcuno può aiutarmi?

grazie

[maurer]

La questione è semplice e dovrebbe saltarti all'occhio; infatti, la prima domanda che dovresti sempre porti davanti ad un quesito del genere è: il vettore nullo appartiene all'insieme che sto considerando? Se questa condizione è falsa, sicuramente non hai a che fare con uno spazio vettoriale (e quindi tantomeno con un sottospazio vettoriale). In questo caso il vettore nullo è il polinomio nullo, il cui grado è 0 o $-\infty$ (dipende un po' dalle scuole di pensiero), ma in ogni caso non può appartenere all'insieme che stai considerando!
Oppure, puoi semplicemente osservare che $x^3+x$ ha grado 3 e quindi è un elemento dell'insieme che stai considerando, e che lo stesso vale per il polinomio $-x^3$. La loro somma però è $x$ che ha grado 1 e quindi non è un elemento del tuo insieme. Dal momento che viene contraddetta la proprietà 1 che hai giustamente ricordato, allora l'insieme da te indicato non può essere un sottospazio vettoriale di $R_3[x]$.
E' tutto chiaro?