Problema con esercizio di algebra lineare
Ciao a tutti ragazzi, non riesco a capire come svolgere questo esercizio di algebra lineare, mi potreste dare una mano?
Trovare una base per $\{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in R^4 | x_1+x_2+x_3+x_4 = 0}$ e completarla a una base di R^4.
Trovare una base per $\{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in R^4 | x_1+x_2+x_3+x_4 = 0}$ e completarla a una base di R^4.
Risposte
allora devi trovare un vettore tale che x1+x2+x3+x4=0 usiamo [1 0 0 -1] , a questo punt a questo vettore colonna aggiungi la base canonica di R^4 ottenendo la matrice $((1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(-1,0,0,0))$
che ne pensi?
le colonne della matrice sono una base di \(R^4\)
poteva essere qualsisi vettore che verifica quell uguaglianza?
cioè poteva essere anche (2, 3, -2, -3)?
cioè poteva essere anche (2, 3, -2, -3)?
si l'importante è che questo vettore che vai a scegliere , insieme agli altri formi una base , ovvero i 4 vettori colonna della matrice siano linearmente independenti,
ad es: $((1,2,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(-1,-2,0,0))$ non è accetabile come soluzione mentre $((1,5,0,0),(0,6,1,0),(0,7,0,1),(-1,8,0,0))$ si.. capito il perchè??
e per verificarlo mi calcolo il determinante che deve essere uguale a zero, giusto?
no se è uguale a zero la matrice è singolare , il det deve essere diverso da 0 oppure il rango della matrice deve essere 4.
capito. Grazie, davvero, mille.
nothing !!
"antonio12":
Ciao a tutti ragazzi, non riesco a capire come svolgere questo esercizio di algebra lineare, mi potreste dare una mano?
Trovare una base per $\{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in R^4 | x_1+x_2+x_3+x_4 = 0}$ e completarla a una base di R^4.
Una base possibile di quel sottospazio è l'insieme $B = {(0,0,-1,1),(0,-1,0,1),(-1,0,0,1)}$
Riesci a capire perchè vanno bene quei 3 vettori come base ?
Se sostituisci uno dei tre vettori nell'equazione vedi che è verificata.
Poi vediamo come trovarli.
Per completare a una base di $RR^4$
devi completare la seguente matrice, dove i vettori della base sono stati messi sulle righe:
$A= ((-1,0,0,1),(0,-1,0,1),(0,0,-1,1),(?,?,?,?))$
In questo caso un trucco e mettere un 4^ vettore in modo che $det(A) \ne 0$.
ma può andare bene anche col metodo scritto sopra da pasqualinux?
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