Problema con due volumi
Cia ragazzi,
allora come al solito piccolo problemino. Ho questo testo:
Trovare la costante $k>0$ tale che il volume della regione all'interno della sfera $x^2+y^2+z^2=a^2$ e sopra il cono $z=ksqrt(x^2+y^2)$ sia un quarto del volume contenuto in tutta la sfera.
Allora io ho pensato di calcolarmi il volume di quella regione che mi dice lui e facendo i vari integrali viene $2\pi/3*a^3*(1-k)$ poi ho posto questo risultato così $2\pi/3*a^3*(1-k) = \pi/3*a^3$ praticamente ad $1/4$ del volume della sfera $4/3pi*a^3$. Quello che viene fuori è $k=1/2$. Ora il problema è che il risultato giusto è $k=1/sqrt(3)$. Perchè? Dove sbaglio?
Grazie.
allora come al solito piccolo problemino. Ho questo testo:
Trovare la costante $k>0$ tale che il volume della regione all'interno della sfera $x^2+y^2+z^2=a^2$ e sopra il cono $z=ksqrt(x^2+y^2)$ sia un quarto del volume contenuto in tutta la sfera.
Allora io ho pensato di calcolarmi il volume di quella regione che mi dice lui e facendo i vari integrali viene $2\pi/3*a^3*(1-k)$ poi ho posto questo risultato così $2\pi/3*a^3*(1-k) = \pi/3*a^3$ praticamente ad $1/4$ del volume della sfera $4/3pi*a^3$. Quello che viene fuori è $k=1/2$. Ora il problema è che il risultato giusto è $k=1/sqrt(3)$. Perchè? Dove sbaglio?
Grazie.
Risposte
senti, io non ho fatto il calcolo, però mi è venuto questo dubbio vedendo il risultato:
non è per caso che tu hai calcolato il volume del cono e non di tutta la regione sopra il cono, cioè trascurando la calotta sferica?
facci sapere. ciao.
non è per caso che tu hai calcolato il volume del cono e non di tutta la regione sopra il cono, cioè trascurando la calotta sferica?
facci sapere. ciao.
No, credo, anzi sono sicuro di aver calcolato il volume giusto, vabeh ti indico come ho fatto. Utilizzando le coordinate cilindriche ho impostato il calcolo così:
$x=\rho*cos(\theta); y=\rho*sin(\theta); z=z$
$V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\rho=0}^{a} \int_{z=k\rho}^{sqrt(a^2-\rho^2)} dz*\rho*d\rho*d\theta$
Il risultato è quello che ho scritto prima....
$x=\rho*cos(\theta); y=\rho*sin(\theta); z=z$
$V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\rho=0}^{a} \int_{z=k\rho}^{sqrt(a^2-\rho^2)} dz*\rho*d\rho*d\theta$
Il risultato è quello che ho scritto prima....
vedendo l'integrale, mi sembra impostato bene. svolgendo i calcoli, ho ottenuto lo stesso tuo risultato.
rifletterò ancora un po' sui limiti di integrazione, ma non mi mi pare che ci siano errori.
io sono fuori allenamento, ... , aspettiamo di sentire qualcun altro.
ciao.
rifletterò ancora un po' sui limiti di integrazione, ma non mi mi pare che ci siano errori.
io sono fuori allenamento, ... , aspettiamo di sentire qualcun altro.
ciao.
Io invece sto cercando di allenarmi il più possibili, dato che ho un l'esame nei prossimi giorni! Dai aspetto che qualcun altro si faccia sentire...
Grazie mille!
Grazie mille!
prego.
io francamente qualche dubbio sugli estremi d'integrazione ce l'ho.
ho provato a vedere che cosa veniva fuori se il calcolo effettuato fosse stato non sul cono ma sulla parte esterna (tra il cono e la semisfera). però in tal caso verrebbe $k=1/sqrt(2)$, anch'esso diverso dal risultato del testo.
io francamente qualche dubbio sugli estremi d'integrazione ce l'ho.
ho provato a vedere che cosa veniva fuori se il calcolo effettuato fosse stato non sul cono ma sulla parte esterna (tra il cono e la semisfera). però in tal caso verrebbe $k=1/sqrt(2)$, anch'esso diverso dal risultato del testo.
Io, invece di utilizzare le coordinate cilindriche, suggerirei di usare quelle polari, pertanto posto:
$\{(x=\rho*sin(\theta)*cos(\varphi)),(x=\rho*sin(\theta)*sin(\varphi)),(x=\rho*cos(\theta)):}$
gli estremi di integrazione si riducono a:
$\varphi in [0,2\pi]$ , $\rho in [0,a]$ , $\theta in [0,arctg(1/k)]$
Si ha così, indicato con $V$ il volume cercato:
$V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{arctg(1/k)}rho^2*sin(\theta)d\thetad\rhod\varphi = 2\pia^3/3\int_{0}^{arctg(1/k)}sin(\theta)d\theta = -2\pia^3/3(cos(arctg(1/k))-1)$
Dall'uguaglianza
$-2\pia^3/3(cos(arctg(1/k))-1)=\pi/3a^3$
si ha:
$cos(arctg(1/k))=1/2$ quindi $arctg(1/k)=\pi/3$ ed infine $1/k=sqrt(3)$.
$\{(x=\rho*sin(\theta)*cos(\varphi)),(x=\rho*sin(\theta)*sin(\varphi)),(x=\rho*cos(\theta)):}$
gli estremi di integrazione si riducono a:
$\varphi in [0,2\pi]$ , $\rho in [0,a]$ , $\theta in [0,arctg(1/k)]$
Si ha così, indicato con $V$ il volume cercato:
$V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{arctg(1/k)}rho^2*sin(\theta)d\thetad\rhod\varphi = 2\pia^3/3\int_{0}^{arctg(1/k)}sin(\theta)d\theta = -2\pia^3/3(cos(arctg(1/k))-1)$
Dall'uguaglianza
$-2\pia^3/3(cos(arctg(1/k))-1)=\pi/3a^3$
si ha:
$cos(arctg(1/k))=1/2$ quindi $arctg(1/k)=\pi/3$ ed infine $1/k=sqrt(3)$.
Io questo tipo di coordinate le ho chiamate sferiche, comunque fa lostesso 
A quanto vedo il calcolo è molto più facile... L'ho fatto in questo modo ed è uscito anche a me... Ora mi chiedo... cosa c'era di sbagliato nei miei estremi di integrazione? 
Graaaazie
A quanto vedo il calcolo è molto più facile... L'ho fatto in questo modo ed è uscito anche a me... Ora mi chiedo... cosa c'era di sbagliato nei miei estremi di integrazione? Graaaazie
accipicchia... mi ero persa con i calcoli...
ti posto un metodo "diretto" per risolvere il problema. spero ti sia utile anche per confrontare gli estremi di integrazione.
integro su z, utilizzando la formula di integrazione per trovare il volume dei solidi di rotazione.
devo utilizzare due formule diverse, perché in un tratto il raggio è $rho=z/k$ ed in un altro tratto è $r=sqrt(a^2-z^2)$
il valore di "confine" lo devo trovare: metto a sistema ${(z=k*rho)^^(z^2=a^2-rho^2)}$ da cui $rho^2=(a^2)/(k^2+1)$, $z=(ka)/(sqrt(k^2+1))$.
il volume richiesto è pertanto:
$int_0^((ka)/(sqrt(k^2+1)))\pi/k^2*z^2*dz\+int_((ka)/(sqrt(k^2+1)))^a\pi*(a^2-z^2)*dz=1/3*pi/k^2*[z^3]_0^((ka)/(sqrt(k^2+1)))+pi*a^2*[z]_((ka)/(sqrt(k^2+1)))^a-1/3*pi*[z^3]_((ka)/(sqrt(k^2+1)))^a=$
$=1/3*(pi*k*a^3)/((k^2+1)*sqrt(k^2+1))+pi*a^3-pi*a^3*k/(sqrt(k^2+1))-1/3*pi*a^3+1/3*pi*a^3*k^3/((k^2+1)*sqrt(k^2+1))=$
$=1/3*pi*a^3*[2(k^2+1)sqrt(k^2+1)-2k^3-2k]/[(k^2+1)sqrt(k^2+1)]$
l'ultima formula corrisponde ad un quarto di sfera (cioè $1/3*pi*a^3$) se la frazione è uguale ad $1$
$(k^2+1)sqrt(k^2+1)=2k(k^2+1)$->$k^2+1=4k^2$->$1=3k^2$->$k=1/(sqrt(3))$.
spero sia chiaro e soprattutto utile. iao.
ti posto un metodo "diretto" per risolvere il problema. spero ti sia utile anche per confrontare gli estremi di integrazione.
integro su z, utilizzando la formula di integrazione per trovare il volume dei solidi di rotazione.
devo utilizzare due formule diverse, perché in un tratto il raggio è $rho=z/k$ ed in un altro tratto è $r=sqrt(a^2-z^2)$
il valore di "confine" lo devo trovare: metto a sistema ${(z=k*rho)^^(z^2=a^2-rho^2)}$ da cui $rho^2=(a^2)/(k^2+1)$, $z=(ka)/(sqrt(k^2+1))$.
il volume richiesto è pertanto:
$int_0^((ka)/(sqrt(k^2+1)))\pi/k^2*z^2*dz\+int_((ka)/(sqrt(k^2+1)))^a\pi*(a^2-z^2)*dz=1/3*pi/k^2*[z^3]_0^((ka)/(sqrt(k^2+1)))+pi*a^2*[z]_((ka)/(sqrt(k^2+1)))^a-1/3*pi*[z^3]_((ka)/(sqrt(k^2+1)))^a=$
$=1/3*(pi*k*a^3)/((k^2+1)*sqrt(k^2+1))+pi*a^3-pi*a^3*k/(sqrt(k^2+1))-1/3*pi*a^3+1/3*pi*a^3*k^3/((k^2+1)*sqrt(k^2+1))=$
$=1/3*pi*a^3*[2(k^2+1)sqrt(k^2+1)-2k^3-2k]/[(k^2+1)sqrt(k^2+1)]$
l'ultima formula corrisponde ad un quarto di sfera (cioè $1/3*pi*a^3$) se la frazione è uguale ad $1$
$(k^2+1)sqrt(k^2+1)=2k(k^2+1)$->$k^2+1=4k^2$->$1=3k^2$->$k=1/(sqrt(3))$.
spero sia chiaro e soprattutto utile. iao.
Chiarissimo! Non avrei mai pensato a questo metodo sinceramente... Ok grazie a tutti, evidentemente i miei estremi di integrazione erano un po "sballati" 
prego.
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