Problema calcolo polinomio caratteristico

[Frank Lioty]

Salve a tutti,
per quanto mi sforzi non mi riesce di capire esattamente i passaggi per la costruzione del polinomio caratteristico. Prendiamo ad esempio la seguente matrice:

${: ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 , 2 ),( 2 , 0 , 0 , 0 ) :}$

la riduco a scalini ed ottengo la seguente:

$ {: ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , -2 ) :} $

che sottratto alla matrice identità diventa

${: ( (1 - t) , 0 , 0 , 1 ),( 0 , (1 - t) , 1 , 1 ),( 0 , 0 , (1 -t) , 1 ),( 0 , 0 , 0 , (-2 -t) ) :}$

avendo effettuato uno scambio il determinante è pari a: $(-1)(1-t)^3(-2-t) = (1-t)^3(t+2)$, ma il polinomio non è corretto perché gli autovalori risulterebbero $1$ e $-2$. Evitando scambi invece ottengo:

${: ( (2 - t) , 0 , 0 , 0 ),( 0 , (1 - t) , 1 , 1 ),( 0 , 0 , (1 -t) , 2 ),( 0 , 0 , 0 , (1 -t) ) :}$

con determinante pari a: $(2-t)(1-t)^3$ ed autovalori correttamente a $1$ e $2$. Sono sempre più convinto di sbagliare qualcosa o ignorare dei vincoli nella costruzione del polinomio che ahimè ignoro. Qualcuno saprebbe illuminarmi?

[Flamber]

Ti consiglio di fare così, prendi la matrice così come è:

$A=((1,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,2),(2,0,0,0))$

$(A-It)=((1-t,0,0,1),(0,1-t,1,1),(1,0,1-t,2),(2,0,0,-t))$

calcola il determinante senza ridurre la matrice, i calcoli dono un po' lunghi ma dovrebbe venire

[WalterLewin90]

Il polinomio caratteristico di una matrice ridotta a scala è DIVERSO dal polinomio caratteristico della matrice di partenza! Non si può fare il tuo procedimento. Devi operare sulla matrice iniziale!