Problema calcolo Nucleo e Img di una App. Lin.

[Fly1]

Se io ho una matrice associata a un'applicazione lineare F tra due spazi vettoriale V e W di cui V sono i polinomi reali di grado minore o uguale a 3 e W sono le matrici reali 2x2 simmetriche .

Si ha che l'applicazione è questa :
F(a0+(a1)t+(a2)t^2+(a3)t^3 ) = alla matrice 2x2 dove ogni (a)ij c'è : (a0)+(a1)+(a2)

Allora io ho calcolato la matrice associata rispetto alle basi canoniche :
1 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0

e fin qui tutto ok.

Ora il problema mi nasce per il calcolo di una base per il nucleo...
Io so che per trovarne una bisogna risolvere il sistema omogeneo AX=0w
ma in questo particolare caso si ha che 0w= Aij dove per ogni (a)ij =0

come faccio allora a risolvere il sistema del tipo
x+y+z= (0 0)
(0 0) ?


Per quanto riguarda l'immagine io ho fatto la riduzione a gradini della trasposta di A e mi è venuta fuori :
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0

quindi considerando le righe non nulle , dovrei avere le coordinate di una base dell'immagine , giusto ?

essendo solo 3 colonne , mentre lo spazio è delle matrici 2x2 , è giusto considerare una base di
Im(F)=( 1 1
1 x ) , con x=1 per forza perchè simmetrica ?
E' giusto il modo in cui opero o c'è un metodo migliore per casi come questo ?

Grazie a tutti per una eventuale risposta.

[Sk_Anonymous]

L'applicazione è chiaramente lineare. Consideriamo dunque la base canonica B = {1, x, x^2, x^3} del suo dominio R_3[x]. Risulta F(1) = F(x) = F(x^2) = [1, 1; 1, 1]; F(x^3) = [0, 0; 0, 0]. Detta A la matrice associata alla funzione, può porsi pertanto A = [1, 1, 1, 1; 1, 1, 1, 1; 1, 1, 1, 1; 0, 0, 0, 0]^t, ove l'apice denota trasposizione e le componenti delle immagini tramite F dei vettori di B sono riferite alla base canonica di R^{2 x 2}. Di qui rank(A) = 1, cosicché dim Im F = 1 e dim ker F = dim R_3[x] - dim Im F = 3. In particolare, essendo a, b, c, d \in R: F(a + bx + cx^2 + dx^3) = [0, 0; 0, 0] sse a + b + c = 0, ovvero a = -(b+c). E allora il kernel della F è formato da tutti e soli i polinomi della forma -(b+c) + bx + cx^2 + dx^2, con b, c, d \in R. Ne segue che una possibile base del nucleo è data dall'insieme K := {x - 1, x^2 - 1, x^3}.

Saluti,
Salvatore Tringali