Problema (banale) sottospazio di $RR^n$

[poncelet]

Ho questo problema:

Dimostrare che fissato $\vech\in RR^n$ l'insieme $S={\vecx\in RR^n:<\vech,\vecx>"="0}$ è un sottospazio di $RR^n$. Determinarne la dimensione.

Allora per dimostrare che si tratta di un sottospazio ho verificato le condizioni:

1) dati $\vecu=(u_1,u_2,...,u_n)$,$\vecv=(v_1,v_2,...,v_n)\inS$ ho verificato che, preso $\veck=\vecu+\vecv=(u_1+v_1,u_2+v_2,...,u_n+v_n)$ abbiamo che $<\vech,\veck>"="h_1(u_1+v_1)+h_2(u_2+v_2)+...+h_n(u_n+v_n)=h_1u_1+h_2u_2+...+h_n*u_n+h_1v_1+h_2v_2+...+h_nv_n=0$.
2) Preso $\lambda\inRR$ abbiamo che $<\vech,\lambda\veck>"="\lambda<\vech,veck>"="0$
Quindi $S$ è un sottospazio vettoriale di $RR^n$.

Ho invece delle difficoltà per determinare la dimensione di $S$, nel senso che non saprei trovarne una base. Ad intuito direi che la dimensione è $n$ ma non so se sia giusto e non saprei motivarlo. Sono un po' arrugginito.

[Paolo902]

Ciao

Guarda, secondo me, va sicuramente bene mostrare a "mano" (come hai fatto tu) che è un sottospazio; in altro modo, si può notare che il sottospazio è descritto da un'equazione lineare omogenea. E questo ti dice automaticamente che è un sottospazio e ti suggerisce anche la dimensione (ehm, difficile che sia $n$, se lo fosse coinciderebbe con l'intero spazio ). Io direi che è un iperpiano (dai una sola equazione!), quindi dimensione $n-1$.

Che sia un iperpiano, comunque, lo si può vedere anche in altro modo. Se non sbaglio, quello che hai scritto si può vedere come il complemento ortogonale del sottospazio [tex]$\mathbb{R}^{n} \supseteq W =\mathcal{L}(\bold{h})$[/tex] rispetto al prodotto scalare [tex]<\cdot,\cdot>[/tex]. Se questo prodotto scalare è sufficientemente bello (i.e. è definito positivo: cosa insita nella definizione stessa per me, ma le notazioni non sono universali) allora un sottospazio e il suo complemento ortogonale sono in somma diretta. Dal momento che [tex]W =\mathcal{L}(\bold{h})[/tex] ha dimensione 1 (va be', sì [tex]$\bold{h}$[/tex] diverso dal vettore nullo), si possono trarre le medesime conclusioni sulla dimensione del tuo sottospazio.

Che dici? Ti è chiaro?

[Gi81]

Attento. Se la dimensione fosse $n$ allora avremmo che $S=RR^n$, ovvero avremmo che $h$ è ortogonale a tutti i vettori di $RR^n$.
Ma non può essere così: ad esempio $!=0$ ( a meno che $h$ sia il vettor nullo, ma è un caso poco interessante, direi).

Edit: anticipato da Paolo90 Poco male, abbiamo detto la stessa cosa

[poncelet]

In effetti ripensandoci non poteva essere $n$ la dimensione di $S$. Riflettendo, per esempio con $n=3$ il sottospazio descritto sarebbe stato un piano che ha dimensione uguale a 2 e generalizzando mi veniva da pensare che $S$ ha dimensione $n-1$. Paolo90 ha formalizzato il tutto in maniera perfetta. Grazie a tutti.

[Paolo902]

Sono contento che tutto vi torni.
Comunque, prego, figurati. E' sempre un piacere.