Problema autovalori endomorfismo

[Shadownet614]

come da titolo ho svolto uno dei due punti della seguente traccia:
Sia f l'unico endomorfismo dello spazio vettoriale R^3 tale che:
f(0,1,1)=(1,-2,-1)
f(1,1,0)=(1,-2,1)
f(0,0,1)=(1,0,0)
a)determinare f(1,2,-2) e f(-1,0,0) [questo qui l'ho fatto e mi trovo]
b) determinare gli autovalori di f [qui mi trovo in difficoltà :/] so che bisognerebbe usare il polinomio caratteristico ma non so come associare la matrice

[giampazero]

Ciao!
Allora.... tu hai vettori 3 una base spazio dello partenza (visto che sono linearmente indipendenti)...Ovvero

$(0,1,1) , (1,1,0) ,(0,0,1)$

Inoltre hai le funzioni a queste associate quindi ti basta mettere $f(0,1,1) , f(1,1,0) ,f(0,0,1)$ lungo le colonne!

OVVERO associ la matrice

$((1,-2,-1),(1,-2,1),(1,0,0))$

da questo puoi calcolare benissimo il punto a) (come alternativa al metodo che hai usato te stesso) fancedo

$((1,-2,-1),(1,-2,1),(1,0,0))((xo),(yo),(zo)) = ((f(xo)),(f(yo)),(f(zo)))$

Dopodiché avendo la matrice puoi calcolarte tutto quello che vuoi


per il polinomio caratteristico (come tu saprai ) a questo punto basta risolvere


$|(1-t,-2,-1),(1,-2-t,1),(1,0,0-t)|=0$


Spero di non aver sbagliato niente

[Samy211]

In sintesi i passaggi da applicare per trovare gli autovalori sono:
1. Stabilire una base che deve essere uguale sia per il dominio che per il codominio.
2. Trovare la matrice associata all'a.l. rispetto alla base scelta nel punto 1
3. Calcolare il polinomio caratteristico come ti ha detto giampazero
4. Vedere se le radici del polinomio "stanno" nell'insieme K (che generalmente è $RR$.

Detto questo, io vi suggerisco sempre di trovare la matrice associata rispetto alle basi canoniche
In questo caso avremo
$v_1= e_2 + e_3$
$v_2=e_1 + e_2$
$v_3=e_3$
Passando alle immagini, cerchiamo gli $f(e_i)$ con $i=1,2,3$, cioè
$(1,-2,-1) = f(e_2) + f(e_3)$
$(1,-2,1)= f(e_1) + f(e_2)$
$(1,0,0)=f(e_3)$

Facendo i calcoli otteniamo quello che stavamo cercando e mettendo in colonna i vari $f(e_i)$ ottenuti troviamo la matrice associata.

[Shadownet614]

grazie mille alla fine mi trovo che gli autovalori sono t=-1 e t=-4, poichè risolvendo il polinomio caratteristico ho $ t^3+t^2+t+4 $ è giusto?

[Samy211]

"Birkhoff92":alla fine mi trovo che gli autovalori sono t=-1 e t=-4, poichè risolvendo il polinomio caratteristico ho $ t^3+t^2+t+4 $ è giusto?

Occhio che essendo un p.c.di grado 3 devono esserci 3 autovalori, a meno che uno di quelli che hai indicato non abbia molteplicità algebrica 2.