Problema Algebra Lineare
Ciao a tutti,
premetto che i punti 1) , 2) e 3) sarebbero di facile soluzione se fossi in grado di risolvere la prima parte:
Siano $v1=(1,h,1)$, $v2=(h,k,h)$ due vettori di $RR^3$, con h,k parametri reali. Quando è possibile si completi l'insieme $[v1,v2]$ alla base $B=(v1,v2,e3)$ mediante il vettore $e3=(0,0,1)$, e si consideri l'endomorfismo $f:RR^3->RR^3$ per cui:
sistema:
$f(v1)=v2$ e $f(v2)=v1$
e si trovi la matrice associata a $B$ di tale endomorfismo, inoltre:
1) nel caso in cui $dimIm(f)=3$, dire quando f è DIAGONALIZZABILE;
2) verificare che se $dimKer(f)=1$, allora f è DIAGONALIZZABILE;
3) nel caso $dimKer(f)=1$, posto $h=0$ e $K=1$, si determinino gli Autospazi in f.
in pratica come posso trovare la matrice associata...
grazie mille x l'aiuto...
premetto che i punti 1) , 2) e 3) sarebbero di facile soluzione se fossi in grado di risolvere la prima parte:
Siano $v1=(1,h,1)$, $v2=(h,k,h)$ due vettori di $RR^3$, con h,k parametri reali. Quando è possibile si completi l'insieme $[v1,v2]$ alla base $B=(v1,v2,e3)$ mediante il vettore $e3=(0,0,1)$, e si consideri l'endomorfismo $f:RR^3->RR^3$ per cui:
sistema:
$f(v1)=v2$ e $f(v2)=v1$
e si trovi la matrice associata a $B$ di tale endomorfismo, inoltre:
1) nel caso in cui $dimIm(f)=3$, dire quando f è DIAGONALIZZABILE;
2) verificare che se $dimKer(f)=1$, allora f è DIAGONALIZZABILE;
3) nel caso $dimKer(f)=1$, posto $h=0$ e $K=1$, si determinino gli Autospazi in f.
in pratica come posso trovare la matrice associata...
grazie mille x l'aiuto...
Risposte
Anche a me interesserebbe un esercizio del genere...ho provato a trovare la matrice associata ma non so qual è l'immagine di $(0,0,1)$..... 
L'immagine di $e_3$ non è data. Rispetto alla base $B$, io porrei $f(e_3) = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ con $a_i \in \mathbb R$ quindi la matrice di $f$ rispetto a $B$ è
$((0,1,a_1),(1,0,a_2),(0,0,a_3))$.
Con questa matrice, io ottendo i risultati seguenti.
Se $\dim \im f = 3$, allora $a_3 \ne 0$ e $f$ ammette gli autovalori $-1,1,a_3$.
Se $\dim \ker f = 1$, allora $a_3 = 0$ e $f$ ammette gli autovalori $-1,1, 0$.
Per il 3) trovo $v_1 + v_2$ autovettore con autovalore $1$, $v_1 - v_2$ autovettore con autovalore $-1$ e $a_2 v_1 + a_1 v_2 - e_3$ con autovalore $0$.
$((0,1,a_1),(1,0,a_2),(0,0,a_3))$.
Con questa matrice, io ottendo i risultati seguenti.
Se $\dim \im f = 3$, allora $a_3 \ne 0$ e $f$ ammette gli autovalori $-1,1,a_3$.
Se $\dim \ker f = 1$, allora $a_3 = 0$ e $f$ ammette gli autovalori $-1,1, 0$.
Per il 3) trovo $v_1 + v_2$ autovettore con autovalore $1$, $v_1 - v_2$ autovettore con autovalore $-1$ e $a_2 v_1 + a_1 v_2 - e_3$ con autovalore $0$.
non capisco come riesci a fare l'immagine di $e3$ essendo il vettore $v3$ non dato... e poi, di conseguenza, come fai a creare quella matrice associata alla base $B$... se puoi, dammi una spiegazione più dettagliata del procedimento che hai seguito...
grazie x la tua disponibilità e x la veloce risposta...
grazie x la tua disponibilità e x la veloce risposta...
Sorry, $v_3$ esiste solo nel mondo degli errori tipografici.
Volevo scrivere $f(e_3) = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 e_3$
Volevo scrivere $f(e_3) = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 e_3$
ma ke tipo di legge stai seguendo... come fai a dirmi ke l'immagine del vettore è uguale alla c.l. dei vettori che compogono quella base... e inoltre anche se fosse questa la soluzione come t fai a ricavare le prime due colonne della matrice associata che mi hai proposto?
Considera una base ${w_1,w_2,w_3}$, non necessariamente la base canonica $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$. Poiché i vettori $w_i$ formano una base, anche la loro immagine può essere espressa come combinazione lineare dei vettori $w_i$
La matrice di un endomorfismo $f$ rispetto alla base ${w_1,w_2,w_3}$ si costruisce mettendo sulle colonne le componenti delle immagini dei vettori di base
Se
$f(w_1) = a_{11} w_1 + a_{21} w_2 + a_{31} w_3$
$f(w_2) = a_{12} w_1 + a_{22} w_2 + a_{32} w_3$
$f(w_3) = a_{13} w_1 + a_{23} w_2 + a_{33} w_3$
la matrice di $f$ è
$((a_{11}, a_{12}, a_{13}), (a_{21}, a_{22}, a_{23}), (a_{31}, a_{32}, a_{33}) )$
Nel tuo caso, rispetto alla base $B={v_1,v_2,e_3})$ si ha
$f(v_1)= v_2= 0v_1+1v_2 + 0 e_3$
percio' la prima colonna della matrice di $f$ rispetto a $B$ è proprio
$((0),(1),(0))$.
Analogamente trovi la seconda colonna. Nulla sappiamo di $f(e_3)$, ma come ogni vettore dello s.l sarà c.l dei vettori di base:
$f(e_3) = a_1 v_1+ a_2 v_2 + a_3 e_3$ con $a_i$ generici.
La matrice di un endomorfismo $f$ rispetto alla base ${w_1,w_2,w_3}$ si costruisce mettendo sulle colonne le componenti delle immagini dei vettori di base
Se
$f(w_1) = a_{11} w_1 + a_{21} w_2 + a_{31} w_3$
$f(w_2) = a_{12} w_1 + a_{22} w_2 + a_{32} w_3$
$f(w_3) = a_{13} w_1 + a_{23} w_2 + a_{33} w_3$
la matrice di $f$ è
$((a_{11}, a_{12}, a_{13}), (a_{21}, a_{22}, a_{23}), (a_{31}, a_{32}, a_{33}) )$
Nel tuo caso, rispetto alla base $B={v_1,v_2,e_3})$ si ha
$f(v_1)= v_2= 0v_1+1v_2 + 0 e_3$
percio' la prima colonna della matrice di $f$ rispetto a $B$ è proprio
$((0),(1),(0))$.
Analogamente trovi la seconda colonna. Nulla sappiamo di $f(e_3)$, ma come ogni vettore dello s.l sarà c.l dei vettori di base:
$f(e_3) = a_1 v_1+ a_2 v_2 + a_3 e_3$ con $a_i$ generici.
grazie mille x le delucidazioni...
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