Principio di dualità proiettiva

[thedarkhero]

Ho l'affermazione "Nello spazio proiettivo tridimensionale, date due rette sghembe ed un punto esterno ad esse esiste un'unica retta passante per quel punto che interseca le due rette".
Utilizzando il principio di dualità proiettiva devo ottenere l'affermazione duale.

Essendo le rette sottospazi di dimensione 1 in uno spazio di dimensione 3, esse sono autoduali e quindi rimangono rette. I punti invece, avendo dimensione 0, diventano piani (dimensione 3-1-0=2). Cosa dire rella relazione di essere sghembe?

[cirasa]

Dunque vediamo un po' se la memoria non mi inganna...

Faccio un po' di ripetizione (leggi la freccia come "al ... corrisponde dualmente ...."):
1) punto -----> piano
2) retta -----> retta
3) piano -----> punto
4) punto appartenente alla retta ------> retta contenuta nel piano
5) retta contenuta nel piano ------> punto appartenente alla retta

Vediamo il caso di due rette distinte (che corrispondono dualmente a due rette distinte) complanari. Ciò significa che esiste un piano che che contiene entrambe le rette.
Dualmente otteniamo, tenendo conto della 5), che esiste un punto che appartiene a entrambe le rette.
Quindi
5) rette complanari -----> rette incidenti

Ora, cosa significa che due rette sono sghembe? ...che non sono complanari. Perciò, secondo me
6) rette sghembe -----> rette non incidenti
Ma nello spazio proiettivo le rette non incidenti sono tutte e sole le rette non complanari (ti ricordo che nello spazio proiettivo si "perde" la nozione di parallelelismo).
Quindi, se non sbaglio
7) rette sghembe -----> rette sghembe.
La nozione "essere sghemba" è autoduale nello spazio proiettivo!

Come al solito, dai una controllatina a quello che dico. Non vorrei che la memoria mi giochi qualche scherzetto