Principio degli Orlati

[Pinturicchio10]

Ciao ragazzi, ho bisogno di una mano con la dimostrazione del principio degli Orlati. Non riesco più a capire la dimostrazione del mio prof., credevo di averla compresa ma invece mi sfugge un passaggio. Mi riferisco all'implicazione secondo cui se esiste un minore M non nullo di ordine k i cui orlati sono tutti nulli, allora la matrice data A ha rango k.
Consideriamo una matrice A di ordine $[m,n] $ e un minore M non nullo di ordine $k$. Sappiamo quindi che le k righe e le k colonne di A che individuano M sono linearmente indipendenti.
Ora consideriamo una matrice ausiliaria costituita da tutte le n colonne di A e le righe di A che individuano M più un'altra riga arbitraria. Ora scegliamo in tale sottomatrice una altra colonna e consideriamo l'orlato di M secondo tale colonna e quella riga scelta precedentemente. Questa sottomatrice ha o rango k o al più k+1. Ma ciò non può essere perchè, essendo un orlato di M, il determinante è nullo e quindi non ha rango massimo. Pertanto il rango è k.
Ora viene la parte che mi sfugge: a questo punto concludiamo che la colonna scelta dipende linearmente dalle k che individuano M e poichè è stata scelta arbitrariamente, in A ci sono k colonne lin.indip. Analogamente per le righe.
Dunque $rgA = k $.

Probabilmente, per l'ultima parte, avrò compreso male io il prof e quindi la conclusione dovrebbe essere diversa. Spero che qualcuno di voi riesca a darmi una dritta anche perchè ho l'orale tra 4 giorni e questo è l'unico teorema di cui mi sfugge la dimostrazione. Grazie.

[anto_zoolander]

Supponiamo sia $AinM_(m,n)(K)$,che esista un minore con determinante non nullo di ordine $k$ e che tutti gli orlati abbiano determinante nullo.

Sia ora $M$ il minore con determinante con nullo, si avrà $k=R(M)leqR(A)$

Questo è vero poiché la matrice $M$ è inclusa nella matrice $A$
Ora comunque orliamo la matrice $M$ rispetto alla matrice $A$ otteniamo un determinante nullo, questo significa che comunque prenda un $M'subseteqA$, essendo il determinante nullo, le colonne/righe sono linearmente dipendenti.
Questo si traduce nel fatto che $k=R(M)geqR(A)$ e dunque si conclude che il rango è $k$ per antisimmetria.

Spero di avertelo detto in maniera abbastanza intuitiva

[Pinturicchio10]

Intanto ti ringrazio. Il punto è che da un punto di vista intuitivo ho inteso il teorema. Il punto è che della dimostrazione che ho scritto mi sfugge la conclusione per cui la colonna aggiunta dipende linearmente dalle altre. Nell'orlato noi consideriamo solo una parte della colonna corrispondente di A. Qui è il mio intoppo.