Primo gruppo di coomologia di insiemi $(n+1)-$connessi

[Lorenzo Morandi]

Ciao a tutti,
qualcuno riesce a fornirmi una dimostrazione del fatto che gli aperti $U$ di uno spazio topologico che siano $(n+1)-$connessi (ovvero il cui complementare ha $n$ componenti connesse limitate e una illimitata) hanno il primo gruppo di coomologia $H^{1}(U)$ isomorfo a $\mathbb{R}^{n}$?

Grazie mille!

[killing_buddha]

Perche' i coefficienti della coomologia sono in \(\mathbb{R}\) (in linea di principio e' possibile che ci sia della torsione in $H^1(U)$, che vedi solo quando hai coefficienti interi)? Stai supponendo almeno che lo spazio topologico abbia il tipo di omotopia di un CW-complesso? Lo spero: altrimenti credo si possa produrre un controesempio in cui le componenti connesse di $U^c$ si attaccano abbastanza male da mandare completamente a campi la coomologia di $U$ (senza contare che solo negli spazi normali due chiusi distinti hanno intorni disgiunti: questo servirebbe a cercare di usare Mayer-Vietoris); $U$ ammette un rivestimento universale ($H^1(U)$ e' l'abelianizzato di $\pi_1(U)$ per il teorema di Hurewicz, e se puoi usare la teoria di Galois dei rivestimenti per ricostruire $\pi_1(U)$...)? Infine, che ipotesi ci sono, se ci sono, su(i gruppi di coomologia de)llo spazio ambiente e su(i gruppi di coomologia) delle componenti connesse di $U^c$?

[Lorenzo Morandi]

Ovviamente mi sono dimenticato di specificare $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$.

[killing_buddha]

Questo risponde solo a una delle domande meglio di tutto sarebbe avere una referenza (un libro o una dispensa) dove questa definizione di $(m+1)$-connessione viene definita e usata; in un altro thread e' stato fatto notare che questa nomenclatura non e' molto standard, perche' solitamente "$n$-connesso" per uno spazio significa che i primi $n-1$ gruppi di omotopia dello spazio sono nulli.

Assumendo che $U$ sia omotopicamente equivalente a un complesso cellulare, e assumendo che ciascuna delle componenti connesse $A_i$ di $U^c$ possieda un intorno aperto $W_i$ che contiene solo quella componente connessa, l'idea potrebbe essere di usare Mayer-Vietoris; del resto mi sembra strano che non vi siano ipotesi sulla co/omologia degli $A_i$, perche' nella successione di MV questa interviene...