Primo eser. algebra: dimensione, base, completamento a base

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Ciao a tutti,

sto facendo un esercizio di algebra lineare.
Il Testo è questo:

Sia $V = l(v_1; v_2; v_3; v_4)$ (l sarebe in corsivo, per intendere che i 4 vettori generano V con combinazioni lineari), determinare

- dim(V)
- una base $B$ di V, con $B sube V$
- completare $B$ ad una base $B'$ di $RR^4$
- verificare se esistono $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) != (0, 0, 0, 0)$ tali che
$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 + \alpha_4 v_4 = 0$

DATI:

v1=(1, 1, -1, 1)
v2=(1, -1, 1, 1)
v3=(-1, 1, 1, 1)
v4=(-1, -1, 3, 1)

Vi chiedo gentilmente di dare un'occhiata alla soluzione per raddrizzare per tempo errori o imprecisioni.

prima di tutto col metodo degli scarti successivi ho (spero) trovato la base $B$ di V: v2 è linearmente indipendente rispetto v1 e lo tengo, v3 è indipendente e lo tengo, v4 è combinazione e lo elimino.

Quindi se non ho capito male per generare V è sufficiente il generatore formato da $v_1$ e $v_2$ e $v_3$ che è qundi la base $B$.

Ora per fare il completamento a base in $RR^4$ devo aggiungere dei vettori tali che invece di generare solo V generino tutto $RR^4$, e qui ho qualche difficoltà pratica visto che il libro che abbiamo non è che spiega, è più che altro un elenco di teoremi, dimostrazioni, proposizioni, definizioni e lemmi, cioè è come studiare inglese da un dizionario.
Ad ogni modo con wikipedia credo di aver capito il seguente procedimento:

a $B$ aggiungo la base canonica di $RR^4$, rifaccio gli scarti successivi e così arrivo al generatore minimale eliminando quei vettori che sono già inclusi nelle combinazioni degli altri.

Ovvero:
Partendo da
v1=(1, 1, -1, 1)
v2=(1, -1, 1, 1)
v3=(-1, 1, 1, 1)
e1=(1, 0, 0, 0)
e2=(0, 1, 0, 0)
e3=(0, 0, 1, 0)
e4=(0, 0, 0, 1)

e1 è indipendente e rimane, e2, e3 e e4 sono combinazioni e si possono eliminare.

Quindi la base $B'$ sarà $(v_1, v_2, v_3, e_1)

Ora per quanto riguarda l'ultimo punto dove si vuole verificare che esistono scalari non nulli tali che $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 + \alpha_4 v_4 = 0$ ho pensato che basta applicare il criterio per verificare se un insieme di vettori è libero: se è libero quando si può ottenere il vettore nullo usando solo scalari nulli, ed è libero quando tutti i vettori sono linearmente indipendenti fra loro, V ha un vettore che è combinazione lineare degli altri quindi non è libero e quindi esistono coefficienti diversi da 0 che possono dare $0_v$ come combinazione.

Per quanto riguarda invece la dimensione di V è il numero minimo di elementi per formare una base, quindi 3.

Grazie per le vostre correzioni, e scusate se sono stato un pò prolisso ma ho cercato di non nascondere i passaggi banali per evitare di portarmi avanti imprecisioni.

[Camillo]

Mi sembra tutto corretto :
DIM V =3
una base $B =(v_1,v_2,v_3)$
il completamento a $RR^4$ ok basta aggiungere $e_1$ .
i vettori sono lin dip e quindi esistono $alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4 ne (0,0,0,0)$ t.c. la combinazione lineare sia uguale al vettore nullo.

[franced]

"Camillo":Mi sembra tutto corretto :
DIM V =3
una base $B =(v_1,v_2,v_3)$
il completamento a $RR^4$ ok basta aggiungere $e_1$ .
i vettori sono lin dip e quindi esistono $alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4 ne (0,0,0,0)$ t.c. la combinazione lineare sia uguale al vettore nullo.

Infatti si ha

$v_4 = - v_1 + v_2 + v_3$

e quindi, portando a destra il vettore $v_4$ otteniamo una combinazione lineare non nulla:

$(-1) \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3 + (-1) \cdot v_4 = 0$.

[Brunosso]

io ho un dubbio ho il seguente sottospazio in R4

K=L{(1, 2, 0, 1), (2, 4, -1, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 2, 4, 5), (1,1, 0, 5)}

ho trovato che la dimK è 3, vedendo che i determinanti dei minori di ordine 4 sono entrambi 0!

ora per trovare una base di K come faccio!?!?

[netarrow]

per trovare la base devi usare il metodo degli scarti successivi, quindi avendo i tuoi 5 vettori $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5$ guardi se $v_2$ è multiplo di $v1_$, in tal caso è combinazione lineare del primo e quindi lo puoi ignorare, se invece non lo è lo mantieni.
Poi passi al vettore $v_3$ e guardi se è combinazione lineare di $v_1$ nel caso hai scartato $v_2$, se lo hai mantenuto devi guardare se è combinazione di $v_1"$ e $v_2$. E così vai avanti per tutti fino all'ultimo vettore, anche se nel tuo caso sapendo che la dimensione è 3 quando arrivi a 3 vettori linearmente indipendenti sai saranno sufficienti a generare tutto K.

[Brunosso]

"netarrow":per trovare la base devi usare il metodo degli scarti successivi, quindi avendo i tuoi 5 vettori $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5$ guardi se $v_2$ è multiplo di $v1_$, in tal caso è combinazione lineare del primo e quindi lo puoi ignorare, se invece non lo è lo mantieni.
Poi passi al vettore $v_3$ e guardi se è combinazione lineare di $v_1$ nel caso hai scartato $v_2$, se lo hai mantenuto devi guardare se è combinazione di $v_1"$ e $v_2$. E così vai avanti per tutti fino all'ultimo vettore, anche se nel tuo caso sapendo che la dimensione è 3 quando arrivi a 3 vettori linearmente indipendenti sai saranno sufficienti a generare tutto K.

non riesco a capire xkè v2 è combinazione di v1!!!!

(2,4,-1,1)=a(1,2,0,1)

quindi

2=x OK
4=2x OK
-1=0 ?!??!?!
1=1 OK

[netarrow]

no infatti non è combinazione, li mantieni e il prossimo vettore verifichi se e combinazione di (v1, v2).
Prima facevo un discorso generale, se v2 fosse stato combinazione di v1 avresti dovuto controllare se v3 è combinazione solo di v1.