Precisazione su i fondamenti dell'algebra lineare
Ciao a tutti ragazzi, professori e genii 
come state?
Sono felice di dirvi che ho passato tutti gli esami dell'primo anno d'ingegneria informatica
e questo e' anche per merito vostro, quindi inizio con un bel GRAZIE
sono passato anche bene qui le note vanno dal 2 al 6 ho concluso con una media del 4.7 calcolando che lavoro al 100%
insomma, sono soddisfatto
Ora arrivo al dunque:
Abbiamo iniziato i corsi di algebra lineare 2 dove il prof ha fatto alcuni ripassi delle ultime cose del corso di Algebra lineare 1.
Abbiamo rivisto i concetti di rango, dimensione, ker (si scriverà cosi?) ect ect.
Premessa:
non ho alcun problema ed ho capito tutto, ma vorrei approfondire un'attimo la questione in quanto potrebbe essermi ultile in futuro e, per farlo, ho bisogno di ripartire dai concetti base.
benissimo, inizio:
se mi viene dato un vettore del tipo:
$vec(a)=( ( 2 ),( 3 ) ) $ e non viene specificato nient'altro, significa che questo vettore utilizza, per "costruirsi" una combinazione lineare fra i vettori della base canonica, ogni vettore deve avere una base che permette la sua "creazione" attraverso i vettori della base che sono tra di loro indipendenti.
per tanto il vettore $vec(a)$ se parte dall'origine posso dire che la sua coda parte appunto dall'origine e termina (dove arriva la frecciettina) sulle coordinate:
$x=2$
$y=3$
Da qui posso dedurre che il vettore applicato alla sua base (in questo caso alla base canonica) ha un immagine uguale a quella di partenza ossia sempre $( ( 2 ),( 3 ) )$.
questo perche se la base canonica a cui lo abbiamo applicato è $vec(e_1)=((1),(0))$ e $vec(e_2)=((0),(1))$
sfruttando i vettori della sua base (a cui lo applichiamo) ottengo:
$2*vec(e_1) + 3*vec(e_2) = ( ( 2 ),( 3 ) )$
sarà quindi per questo motivo che la base canonica non viene mai specificata? perche cmq l'immagine del vettore rimane sempre uguale a quella di partenza e, pertanto, per convenzione si e' deciso che se non si mette nessuna base si sta applicando quella canonica e, in questo caso (per il motivo che ho appena spiegato) per disegnare il vettore applicato alla sua base canonica basterà contare i quadretti in $x$ e $y$ sul grafico senza fare il passaggio $x_1*vec(e_1) + x_2*vec(e_2) = ( ( x ),( y ) )$ dove $x$ e $y$ e' l'immagine del vettore applicato alla base canonica.
Se pero cambiamo la base e non usiamo piu quella canonica utilizzando per esempio:
$vec(e_1)=((-1),(0))$ e $vec(e_2)=((0),(1))$
quindi una simmetria rispetto la base canonica, le cose cambiano.
Ovvero l'immagine del vettore sarà diversa dal vettore di partenza, proprio per il fatto che viene applicato ad una differente base, ossia ad una base simmetrica rispetto a quella canonica, pertanto il vettore risultante (la sua immagine quindi) sara simmetrica al vettore di partenza che era $vec(a)=( ( 2 ),( 3 ) )$ e quindi sara' $vec(a)=( ( -2 ),( 3 ) )$ ed e' facile dimostrarlo perche se applico il vettore $vec(a)$ alla sua nuova base ottengo:
$2*vec(e_1) + 3*vec(e_2) = ( ( -2 ),( 3 ) )$ dove $vec(e_1)$ e $vec(e_2)$ sono la base simmetrica rispetto a quella canonica.
tutto questo per dire che cosa:
Anche se non lo scriviamo sempre (proprio per il fatto che si lavora spesso con la base canonica), in realtà, tutti i vettori si costruiscono su una determinata base quindi da 2 vettori linearmente INdipendenti (chiaramente se siamo in $V$2), anche quelli che hanno come base quella canonica, solo che in quel caso il passaggio e' immediato perche l'immagine del vettore applicato alla sua base canonica coincidera' sempre con quella del vettore iniziale. Mentre se NON viene usata una base canonica il vettore di partenza differisce da quello della sua immagine (cioe se viene applicato alla sua base che NON e' quella canonica).
pertanto in quel caso il passaggio bisogna farlo perche a priori sapremo che partendo da un vettore arriveremo ad averne un altro.
tutto quello che ho scritto mi fa venire in mente le applicazioni lineari.... ma se ci si pensa bene bene bene tutti i vettori per essere "creati" devo avere un applicazione lineare... perche in un modo o nell altro necessitano di una base per essere creati e quindi disegnati. Infatti anche i vettori che usano una base canonica vengono applicati (lo dice la parola stessa) ad una base e seguono il medesimo calcolo che si farebbe con un altra applicazione lineare per esempio (di una rotazione di x gradi dalle origine) ossia vengono costruiti attraverso una base in questo caso differente ma avviene la stessa identica cosa.
concludo:
tutti i vettori adoperano un applicazione lineare per essere interpretati, costituiti, creati, disegnati ect.
Solo che in alcuni casi l'applicazione e' banale e non si vede...
tutto questo puo essere possiible?
secondo voi il mio ragionamento puo andare?
o sto dicendo un mucchio di fesserie?
mille grazie
come state?Sono felice di dirvi che ho passato tutti gli esami dell'primo anno d'ingegneria informatica
e questo e' anche per merito vostro, quindi inizio con un bel GRAZIE
sono passato anche bene qui le note vanno dal 2 al 6 ho concluso con una media del 4.7 calcolando che lavoro al 100%
insomma, sono soddisfatto
Ora arrivo al dunque:
Abbiamo iniziato i corsi di algebra lineare 2 dove il prof ha fatto alcuni ripassi delle ultime cose del corso di Algebra lineare 1.
Abbiamo rivisto i concetti di rango, dimensione, ker (si scriverà cosi?) ect ect.
Premessa:
non ho alcun problema ed ho capito tutto, ma vorrei approfondire un'attimo la questione in quanto potrebbe essermi ultile in futuro e, per farlo, ho bisogno di ripartire dai concetti base.
benissimo, inizio:
se mi viene dato un vettore del tipo:
$vec(a)=( ( 2 ),( 3 ) ) $ e non viene specificato nient'altro, significa che questo vettore utilizza, per "costruirsi" una combinazione lineare fra i vettori della base canonica, ogni vettore deve avere una base che permette la sua "creazione" attraverso i vettori della base che sono tra di loro indipendenti.
per tanto il vettore $vec(a)$ se parte dall'origine posso dire che la sua coda parte appunto dall'origine e termina (dove arriva la frecciettina) sulle coordinate:
$x=2$
$y=3$
Da qui posso dedurre che il vettore applicato alla sua base (in questo caso alla base canonica) ha un immagine uguale a quella di partenza ossia sempre $( ( 2 ),( 3 ) )$.
questo perche se la base canonica a cui lo abbiamo applicato è $vec(e_1)=((1),(0))$ e $vec(e_2)=((0),(1))$
sfruttando i vettori della sua base (a cui lo applichiamo) ottengo:
$2*vec(e_1) + 3*vec(e_2) = ( ( 2 ),( 3 ) )$
sarà quindi per questo motivo che la base canonica non viene mai specificata? perche cmq l'immagine del vettore rimane sempre uguale a quella di partenza e, pertanto, per convenzione si e' deciso che se non si mette nessuna base si sta applicando quella canonica e, in questo caso (per il motivo che ho appena spiegato) per disegnare il vettore applicato alla sua base canonica basterà contare i quadretti in $x$ e $y$ sul grafico senza fare il passaggio $x_1*vec(e_1) + x_2*vec(e_2) = ( ( x ),( y ) )$ dove $x$ e $y$ e' l'immagine del vettore applicato alla base canonica.
Se pero cambiamo la base e non usiamo piu quella canonica utilizzando per esempio:
$vec(e_1)=((-1),(0))$ e $vec(e_2)=((0),(1))$
quindi una simmetria rispetto la base canonica, le cose cambiano.
Ovvero l'immagine del vettore sarà diversa dal vettore di partenza, proprio per il fatto che viene applicato ad una differente base, ossia ad una base simmetrica rispetto a quella canonica, pertanto il vettore risultante (la sua immagine quindi) sara simmetrica al vettore di partenza che era $vec(a)=( ( 2 ),( 3 ) )$ e quindi sara' $vec(a)=( ( -2 ),( 3 ) )$ ed e' facile dimostrarlo perche se applico il vettore $vec(a)$ alla sua nuova base ottengo:
$2*vec(e_1) + 3*vec(e_2) = ( ( -2 ),( 3 ) )$ dove $vec(e_1)$ e $vec(e_2)$ sono la base simmetrica rispetto a quella canonica.
tutto questo per dire che cosa:
Anche se non lo scriviamo sempre (proprio per il fatto che si lavora spesso con la base canonica), in realtà, tutti i vettori si costruiscono su una determinata base quindi da 2 vettori linearmente INdipendenti (chiaramente se siamo in $V$2), anche quelli che hanno come base quella canonica, solo che in quel caso il passaggio e' immediato perche l'immagine del vettore applicato alla sua base canonica coincidera' sempre con quella del vettore iniziale. Mentre se NON viene usata una base canonica il vettore di partenza differisce da quello della sua immagine (cioe se viene applicato alla sua base che NON e' quella canonica).
pertanto in quel caso il passaggio bisogna farlo perche a priori sapremo che partendo da un vettore arriveremo ad averne un altro.
tutto quello che ho scritto mi fa venire in mente le applicazioni lineari.... ma se ci si pensa bene bene bene tutti i vettori per essere "creati" devo avere un applicazione lineare... perche in un modo o nell altro necessitano di una base per essere creati e quindi disegnati. Infatti anche i vettori che usano una base canonica vengono applicati (lo dice la parola stessa) ad una base e seguono il medesimo calcolo che si farebbe con un altra applicazione lineare per esempio (di una rotazione di x gradi dalle origine) ossia vengono costruiti attraverso una base in questo caso differente ma avviene la stessa identica cosa.
concludo:
tutti i vettori adoperano un applicazione lineare per essere interpretati, costituiti, creati, disegnati ect.
Solo che in alcuni casi l'applicazione e' banale e non si vede...
tutto questo puo essere possiible?
secondo voi il mio ragionamento puo andare?
o sto dicendo un mucchio di fesserie?
mille grazie
Risposte
[xdom="giammaria"]Sposto in geometria e algebra lineare[/xdom]
Uno spazio vettoriale è un insieme su cui è definita una particolare struttura (anche se immagino possa essere definito in modo più astratto e categoriale). Se tu dici che \(\mathbf{v} = ( 2, 3)^t\) allora quello che stai decendo è che \(\mathbf{v}\) è un particolare elemento dell'insieme. Sostanzialmente non stai utilizzando la struttura di spazio vettoriale.
Detto questo, una base è un isomorfismo lineare da \(V\) in \(\mathbf{R}^n\). Le nuove coordinate sono semplicemente l'immagine dell'elemento tramite l'isomorfismo lineare.
Detto questo, una base è un isomorfismo lineare da \(V\) in \(\mathbf{R}^n\). Le nuove coordinate sono semplicemente l'immagine dell'elemento tramite l'isomorfismo lineare.
ma la mia conclusione puo essere accettata?
nel senso che qualsiasi vettore ha un immagine che viene data attraverso una base.
Ossia il vettore si applica alla base che gli e' stata data e quest'ultima ti restituirà la sua immagine...
nel senso che qualsiasi vettore ha un immagine che viene data attraverso una base.
Ossia il vettore si applica alla base che gli e' stata data e quest'ultima ti restituirà la sua immagine...
@giogiomogio,
la stringa \( ker \), abbreviazione di \( kernel \) che significa "nucleo" di una applicazione lineare \( f: A \to B \), e si indica con la scrittura \( ker(f)\)!!
dovresti almeno dirci da dove prendi il vettore \( \vec a \)..
non è il vettore che utilizza ma una semplice proprietà che dice " data una base di uno spazio vettoriale allora ogni elemento dello spazio si decompone unicamente rispetto alla base"... e poi, gli elementi della base sono si liberi sul campo (ovvero lin. indipendenti) ma generano anche lo spazio di cui loro sono base!!! E ancora, i vettori no hanno una base, quelli sono i spazi vettoriali...
siamo negli spazi affini?... o in quello che molti chiamano "spazio ordinario della nostra intuizione"? o chissà dove? Per continuare a rispondere ho bisogno di qualche altra informazione... si più preciso con l'esposizione...
Saluti!
"giogiomogio":
Ciao a tutti ragazzi, professori e genii
Sono felice di dirvi che ho passato tutti gli esami dell'primo anno d'ingegneria informatica
e questo e' anche per merito vostro, quindi inizio con un bel GRAZIE
sono passato anche bene qui le note vanno dal 2 al 6 ho concluso con una media del 4.7 calcolando che lavoro al 100%
insomma, sono soddisfatto
Ora arrivo al dunque:
Abbiamo iniziato i corsi di algebra lineare 2 dove il prof ha fatto alcuni ripassi delle ultime cose del corso di Algebra lineare 1.
Abbiamo rivisto i concetti di rango, dimensione, ker (si scriverà cosi?) ect ect.
Premessa:
non ho alcun problema ed ho capito tutto, ma vorrei approfondire un'attimo la questione in quanto potrebbe essermi ultile in futuro e, per farlo, ho bisogno di ripartire dai concetti base.
la stringa \( ker \), abbreviazione di \( kernel \) che significa "nucleo" di una applicazione lineare \( f: A \to B \), e si indica con la scrittura \( ker(f)\)!!
"giogiomogio":
benissimo, inizio:
se mi viene dato un vettore del tipo:
$vec(a)=( ( 2 ),( 3 ) ) $ e non viene specificato nient'altro, significa che questo vettore utilizza, per "costruirsi" una combinazione lineare fra i vettori della base canonica, ogni vettore deve avere una base che permette la sua "creazione" attraverso i vettori della base che sono tra di loro indipendenti.
dovresti almeno dirci da dove prendi il vettore \( \vec a \)..
non è il vettore che utilizza ma una semplice proprietà che dice " data una base di uno spazio vettoriale allora ogni elemento dello spazio si decompone unicamente rispetto alla base"... e poi, gli elementi della base sono si liberi sul campo (ovvero lin. indipendenti) ma generano anche lo spazio di cui loro sono base!!! E ancora, i vettori no hanno una base, quelli sono i spazi vettoriali..."giogiomogio":
per tanto il vettore $vec(a)$ se parte dall'origine posso dire che la sua coda parte appunto dall'origine e termina (dove arriva la frecciettina) sulle coordinate:
$x=2$
$y=3$
Da qui posso dedurre che il vettore applicato alla sua base (in questo caso alla base canonica) ha un immagine uguale a quella di partenza ossia sempre $( ( 2 ),( 3 ) )$.
questo perche se la base canonica a cui lo abbiamo applicato è $vec(e_1)=((1),(0))$ e $vec(e_2)=((0),(1))$
sfruttando i vettori della sua base (a cui lo applichiamo) ottengo:
$2*vec(e_1) + 3*vec(e_2) = ( ( 2 ),( 3 ) )$
sarà quindi per questo motivo che la base canonica non viene mai specificata? perche cmq l'immagine del vettore rimane sempre uguale a quella di partenza e, pertanto, per convenzione si e' deciso che se non si mette nessuna base si sta applicando quella canonica e, in questo caso (per il motivo che ho appena spiegato) per disegnare il vettore applicato alla sua base canonica basterà contare i quadretti in $x$ e $y$ sul grafico senza fare il passaggio $x_1*vec(e_1) + x_2*vec(e_2) = ( ( x ),( y ) )$ dove $x$ e $y$ e' l'immagine del vettore applicato alla base canonica.
Se pero cambiamo la base e non usiamo piu quella canonica utilizzando per esempio:
$vec(e_1)=((-1),(0))$ e $vec(e_2)=((0),(1))$
quindi una simmetria rispetto la base canonica, le cose cambiano.
Ovvero l'immagine del vettore sarà diversa dal vettore di partenza, proprio per il fatto che viene applicato ad una differente base, ossia ad una base simmetrica rispetto a quella canonica, pertanto il vettore risultante (la sua immagine quindi) sara simmetrica al vettore di partenza che era $vec(a)=( ( 2 ),( 3 ) )$ e quindi sara' $vec(a)=( ( -2 ),( 3 ) )$ ed e' facile dimostrarlo perche se applico il vettore $vec(a)$ alla sua nuova base ottengo:
$2*vec(e_1) + 3*vec(e_2) = ( ( -2 ),( 3 ) )$ dove $vec(e_1)$ e $vec(e_2)$ sono la base simmetrica rispetto a quella canonica.
tutto questo per dire che cosa:
Anche se non lo scriviamo sempre (proprio per il fatto che si lavora spesso con la base canonica), in realtà, tutti i vettori si costruiscono su una determinata base quindi da 2 vettori linearmente INdipendenti (chiaramente se siamo in $V$2), anche quelli che hanno come base quella canonica, solo che in quel caso il passaggio e' immediato perche l'immagine del vettore applicato alla sua base canonica coincidera' sempre con quella del vettore iniziale. Mentre se NON viene usata una base canonica il vettore di partenza differisce da quello della sua immagine (cioe se viene applicato alla sua base che NON e' quella canonica).
pertanto in quel caso il passaggio bisogna farlo perche a priori sapremo che partendo da un vettore arriveremo ad averne un altro.
tutto quello che ho scritto mi fa venire in mente le applicazioni lineari.... ma se ci si pensa bene bene bene tutti i vettori per essere "creati" devo avere un applicazione lineare... perche in un modo o nell altro necessitano di una base per essere creati e quindi disegnati. Infatti anche i vettori che usano una base canonica vengono applicati (lo dice la parola stessa) ad una base e seguono il medesimo calcolo che si farebbe con un altra applicazione lineare per esempio (di una rotazione di x gradi dalle origine) ossia vengono costruiti attraverso una base in questo caso differente ma avviene la stessa identica cosa.
concludo:
tutti i vettori adoperano un applicazione lineare per essere interpretati, costituiti, creati, disegnati ect.
Solo che in alcuni casi l'applicazione e' banale e non si vede...
tutto questo puo essere possiible?
secondo voi il mio ragionamento puo andare?
o sto dicendo un mucchio di fesserie?
mille grazie
siamo negli spazi affini?... o in quello che molti chiamano "spazio ordinario della nostra intuizione"? o chissà dove? Per continuare a rispondere ho bisogno di qualche altra informazione... si più preciso con l'esposizione...
Saluti!
"giogiomogio":
ma la mia conclusione puo essere accettata?
nel senso che qualsiasi vettore ha un immagine che viene data attraverso una base.
Ossia il vettore si applica alla base che gli e' stata data e quest'ultima ti restituirà la sua immagine...
Un isomorfismo è biiettivo quindi ogni vettore è associato univocamente ad un elemento del codominio.
@garnak.olegovitc
se ho un vettore, quest ultimo necessita di una base e se non viene specificata si prende la base canonica giusto?
attraverso la sua base posso disegnare su un grafico cartesiano il vettore giusto?
facendo $x_1*vec(e_1)+x_2*vec(e_2)$
questo passaggio lo si fa anche con le applicazioni lineari... indipendentemente di quale sia la base... (che compone la matrice attraverso l'immagine della base). Cioe alla base applichi l'applicazione lineare e infili le immagini dei vettori della base nella matrice.
Dato che questo passaggio si fa sempre (cioe di moltiplicare ogni componente del vettore con i vettori della base) vedi riga 3, mi chiedevo se alla fin fine ogni vettore è dato (la sua immagine intendo) attraverso un applicazione lineare. Dove se viene usata la base canonica vettore di partenza e vettore di arrivo (l'immagine) coincide... se non uso la base canonica non coincideranno piu... per esempio con l'applicazione di una rotazione
spero di essermi espresso
grazie
se ho un vettore, quest ultimo necessita di una base e se non viene specificata si prende la base canonica giusto?
attraverso la sua base posso disegnare su un grafico cartesiano il vettore giusto?
facendo $x_1*vec(e_1)+x_2*vec(e_2)$
questo passaggio lo si fa anche con le applicazioni lineari... indipendentemente di quale sia la base... (che compone la matrice attraverso l'immagine della base). Cioe alla base applichi l'applicazione lineare e infili le immagini dei vettori della base nella matrice.
Dato che questo passaggio si fa sempre (cioe di moltiplicare ogni componente del vettore con i vettori della base) vedi riga 3, mi chiedevo se alla fin fine ogni vettore è dato (la sua immagine intendo) attraverso un applicazione lineare. Dove se viene usata la base canonica vettore di partenza e vettore di arrivo (l'immagine) coincide... se non uso la base canonica non coincideranno piu... per esempio con l'applicazione di una rotazione
spero di essermi espresso
grazie
@vict85
scusa ma non riesco a capire cosa intendi, potesti gentilmente usare parole piu terresti per uno studente ? non capisco nenache se quello che dici contraria le mie affermazioni o meno. cioe se mi stai dando ragione o torto
grazie
scusa ma non riesco a capire cosa intendi, potesti gentilmente usare parole piu terresti per uno studente ? non capisco nenache se quello che dici contraria le mie affermazioni o meno. cioe se mi stai dando ragione o torto
grazie
L’insieme \(\mathbf{R}^2\) è, in termini puramente insiemistici, l’insieme \(\mathbf{R}\times\mathbf{R}\). Quindi un elemento di \(\mathbf{R}^2\) non è altro che una coppia di numeri reali. Il concetto di base è invece qualcosa che ha a che fare con gli spazi vettoriali e le sue proprietà. Un elemento di uno spazio vettoriale è prima di tutto un elemento dell'insieme in cui è definita la struttura di spazio vettoriale. Grazie al concetto di base è, tra le varie cose, possibile lavorare su qualsiasi spazio vettoriale come se ci si trovasse in \(\mathbf{R}^n\).
Detto questo, tu non hai bisogno di una base per definire un elemento di uno spazio vettoriale. Per farti un esempio un po’ meno terra terra la funzione \(3e^{4k+e} + \sqrt{89}\sin(2k) - 6 x^45 + \ln_3 7\) è un elemento dello spazio vettoriale delle funzioni continue da \(\mathbf{R} \) in \(\mathbf{R} \) (attenzione che questo spazio non è finitamente generato!!!) . Anche se è facilmente verificabile che quella è la combinazione lineare di 4 funzioni linearmente indipendenti.
Inoltre puoi tranquillamente definire elementi come somma di vettori non linearmente indipendenti. Per esempio \(3(x^2 - x) + 2(x^3+x^2) - 6(x^3+x)\) è un elemento dello spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(3\) anche se la sua espressione è semplificabile.
Il punto è che capita che nello scrivere un qualcosa tu lo esprima come somma di elementi indipendenti e spesso la forma canonica di scrivere vari insiemi racchiude una qualche base canonica dal punto di vista vettoriale. Ma di per se è un aspetto insignificante inoltre la potenza dell'algebra è saper guardare le cose sotto molti punti di vista, richiedere un certo modo è restrittivo e potenzialmente cotroproducente.
Detto questo, tu non hai bisogno di una base per definire un elemento di uno spazio vettoriale. Per farti un esempio un po’ meno terra terra la funzione \(3e^{4k+e} + \sqrt{89}\sin(2k) - 6 x^45 + \ln_3 7\) è un elemento dello spazio vettoriale delle funzioni continue da \(\mathbf{R} \) in \(\mathbf{R} \) (attenzione che questo spazio non è finitamente generato!!!) . Anche se è facilmente verificabile che quella è la combinazione lineare di 4 funzioni linearmente indipendenti.
Inoltre puoi tranquillamente definire elementi come somma di vettori non linearmente indipendenti. Per esempio \(3(x^2 - x) + 2(x^3+x^2) - 6(x^3+x)\) è un elemento dello spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(3\) anche se la sua espressione è semplificabile.
Il punto è che capita che nello scrivere un qualcosa tu lo esprima come somma di elementi indipendenti e spesso la forma canonica di scrivere vari insiemi racchiude una qualche base canonica dal punto di vista vettoriale. Ma di per se è un aspetto insignificante inoltre la potenza dell'algebra è saper guardare le cose sotto molti punti di vista, richiedere un certo modo è restrittivo e potenzialmente cotroproducente.
Perfetto grazie mille vict85 ora ho capito
quindi io erravo nel dire che un vettore debba per forza avere una sua base per poterlo esprimere...
Cioè non necessito di avere una base per definire un elemento all interno di uno spazio vettoriale "creato" da una base.
giusto?
grazie
quindi io erravo nel dire che un vettore debba per forza avere una sua base per poterlo esprimere...
Cioè non necessito di avere una base per definire un elemento all interno di uno spazio vettoriale "creato" da una base.
giusto?
grazie
Io non direi che la base crea gli elementi. Molte cose dell'algebra lineare le puoi fare ignorando completamente le basi.
perfetto grazie, io invece pensavo che proprio con le basi fai tutto...
vettori, spazi vettoriali ect.
senza base non puoi avere un vettore.
Completamente idee sbagliate quindi, eppure il corso di algebra 1 l'ho passato
vettori, spazi vettoriali ect.
senza base non puoi avere un vettore.
Completamente idee sbagliate quindi, eppure il corso di algebra 1 l'ho passato
Le basi sono uno strumento utile, ma non il solo con cui lavorare in algebra lineare.
Il concetto di "base" è figlio del concetto di "spazio vettoriale", ma non vale assolutamente il viceversa. Ti faccio un esempio. Pensa ai vettori geometrici (le frecce disegnate sul piano) applicate a un punto X del piano arbitrariamente scelto.
Puoi fissare un punto e due vettori, e in questo modo ti esprimi una freccia come combinazione lineare di altre. Ma da qualunque parte ti giri, quella rimane la stessa identica freccia. Il concetto di base serve solamente a trasformare quel tuo vettore in "numeri", cioè a trovare un applicazione dallo spazio delle freccie a quelle di $R^n$, che chiami APPLICAZIONE DI PASSAGGIO ALLE COORDINATE. Il guadagno è evidente: lavorare con numeri è facile, lavorare con dei "cosi" con una direzione e verso lo è un pò meno.
Puoi fissare un punto e due vettori, e in questo modo ti esprimi una freccia come combinazione lineare di altre. Ma da qualunque parte ti giri, quella rimane la stessa identica freccia. Il concetto di base serve solamente a trasformare quel tuo vettore in "numeri", cioè a trovare un applicazione dallo spazio delle freccie a quelle di $R^n$, che chiami APPLICAZIONE DI PASSAGGIO ALLE COORDINATE. Il guadagno è evidente: lavorare con numeri è facile, lavorare con dei "cosi" con una direzione e verso lo è un pò meno.
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