Precisazione su definizione di endomorfismo simmetrico
La definizione di endomorfismo simmetrico è:
Dati uno spazio euclideo $(V, < * , * >)$ e un endomorfismo $f:V->V$
diremo che $f$ è "simmetrico" se e solo se $ = forall v,w in V$
TEOREMA:
$f in End(V)$ è simmetrico se e solo se la matrice associata a $f$ rispetto a qualsiasi base ortonormale è una matrice simmetrica.
In un esercizio trovo..
Sia $f:mathbbR^3->mathbbR^3$ che abbia $A=((1,0,-3),(0,0,0),(-3,0,9))$ come matrice associata (si sottintende rispetto alla base canonica) ...poi fa delle richieste e vabbè.. facile.
Tuttavia il prof. inizia lo svolgimento dicendo: << $A$ simmetrica, implica $f$ simmetrico, perchè la base canonica è una base ortonormale>>.
Beh?? Ma allora il TEOREMA avrebbe dovuto dire $f$ simmetrico se e solo se $exists$ una base ortonormale rispetto alla quale $f$ proponga una matrice simmetrica????
C'è qualcosa che mi sfugge?
Grazie mille!
Dati uno spazio euclideo $(V, < * , * >)$ e un endomorfismo $f:V->V$
diremo che $f$ è "simmetrico" se e solo se $
TEOREMA:
$f in End(V)$ è simmetrico se e solo se la matrice associata a $f$ rispetto a qualsiasi base ortonormale è una matrice simmetrica.
In un esercizio trovo..
Sia $f:mathbbR^3->mathbbR^3$ che abbia $A=((1,0,-3),(0,0,0),(-3,0,9))$ come matrice associata (si sottintende rispetto alla base canonica) ...poi fa delle richieste e vabbè.. facile.
Tuttavia il prof. inizia lo svolgimento dicendo: << $A$ simmetrica, implica $f$ simmetrico, perchè la base canonica è una base ortonormale>>.
Beh?? Ma allora il TEOREMA avrebbe dovuto dire $f$ simmetrico se e solo se $exists$ una base ortonormale rispetto alla quale $f$ proponga una matrice simmetrica????
C'è qualcosa che mi sfugge?
Grazie mille!
Risposte
Il prodotto scalare di due vettori si scrive come prodotto di matrici:
\[ v\cdot w = v^t w\]
(il che e' solo un caso particolare di una applicazione bilineare $g$ di matrice $A$, la cui azione sui due vettori $v,w$, $g(v,w)$, si scrive come il prodotto di matrici $v^tAw$).
A questo punto allora e' facile notare che $f$ (di matrice $M$ in base canonica) e' simmetrico se e solo se $M^t=M$; usi il fatto che la base canonica e' ortonormale quando, dalla condizione $v^tM^tw=v^tMw$ devi passare a $M^t=M$, usando il caso particolare di $v=e_i, w=e_j$, il quale ti ritorna $a_{ji}=m_{ij}$. []
\[ v\cdot w = v^t w\]
(il che e' solo un caso particolare di una applicazione bilineare $g$ di matrice $A$, la cui azione sui due vettori $v,w$, $g(v,w)$, si scrive come il prodotto di matrici $v^tAw$).
A questo punto allora e' facile notare che $f$ (di matrice $M$ in base canonica) e' simmetrico se e solo se $M^t=M$; usi il fatto che la base canonica e' ortonormale quando, dalla condizione $v^tM^tw=v^tMw$ devi passare a $M^t=M$, usando il caso particolare di $v=e_i, w=e_j$, il quale ti ritorna $a_{ji}=m_{ij}$. []
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