Precisazione su definizione di applicazione lineare
Buongiorno a tutti,
vorrei chiedere solo una semplice precisazione: se $T : V rarr V $ è un'applicazione lineare, so che vale
$T(\lambda \vec v) = \lambda T(\vec v) $
(oltre che ovviamente l'additività).
Ma questo è valido solo per il prodotto per uno scalare, giusto? Perchè riguardando una dimostrazione della formula della similitudine tra matrici ho trovato un passaggio con scritto che $T(EA) = T(E)A$ per linearità, dove E è una base e A è una matrice; quindi mi è venuto il dubbio che quella proprietà sul prodotto per uno scalare valesse anche per il prodotto con una matrice.
Grazie in anticipo per la disponibilità,
Valentina
vorrei chiedere solo una semplice precisazione: se $T : V rarr V $ è un'applicazione lineare, so che vale
$T(\lambda \vec v) = \lambda T(\vec v) $
(oltre che ovviamente l'additività).
Ma questo è valido solo per il prodotto per uno scalare, giusto? Perchè riguardando una dimostrazione della formula della similitudine tra matrici ho trovato un passaggio con scritto che $T(EA) = T(E)A$ per linearità, dove E è una base e A è una matrice; quindi mi è venuto il dubbio che quella proprietà sul prodotto per uno scalare valesse anche per il prodotto con una matrice.
Grazie in anticipo per la disponibilità,
Valentina
Risposte
No, vale solo con prodotto per scalare. Forse nella tua dimostrazione c'è un'applicazione particolare che ha ulteriori proprietà.
Paola
Paola
La dimostrazione parte dicendo così: sia $T:V rarr V $ lineare, ed è tale che $ T(E)=EM$ , $T(E')=E'M'$ con $M, M' in M_n(K)$.
Poi chiede, quanto vale $M'$? (per giungere al risultato, cioè alla formula delle matrici simili sfrutta, come vedi, i cambiamenti di base). Quindi dice che visto che $E'=EA$ e $E=E'A^-1$ , allora $T(E')=T(EA)=T(E)A$ perchè T è lineare; mi fermo qua perchè poi il resto della dimostrazione non c'entra, è solo questo passaggio qua che non mi è chiarissimo..
Poi chiede, quanto vale $M'$? (per giungere al risultato, cioè alla formula delle matrici simili sfrutta, come vedi, i cambiamenti di base). Quindi dice che visto che $E'=EA$ e $E=E'A^-1$ , allora $T(E')=T(EA)=T(E)A$ perchè T è lineare; mi fermo qua perchè poi il resto della dimostrazione non c'entra, è solo questo passaggio qua che non mi è chiarissimo..
Che dimostrazione è? Comunque io penso che A sia una matrice "particolare", (o è una matrice coi "Numeri" per intenderci, o di un determinato tipo, oppure è un applicazione lineare di determinata proprietà).
E' una dimostrazione che giunge alla formula $M'=A^-1MA$ , che era il punto a cui si intendeva arrivare all'inizio, e che fa appunto notare che le matrici M ed M' sono simili, perchè esiste una matrice A invertibile tale che è valida la formula, e se non erro A è la matrice di cambiamento di base
...in che senso poi "matrice coi numeri"? penso che sì, contenga numeri, ma è sempre una matrice, perchè dovrebbe valere quella proprietà che vale per il prodotto scalare?
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