Potenziale di un campo vettoriale

[hidalgo-votailprof]

Salve a tutti, avrei un piccolo problema con lo studio dei campi vettoriali, precisamente con un esercizio d'esame che non riesco a comprendere, spero che qualcuno mi possa illuminare la via
Quest'esercizio richiede, come prima cosa, di dimostrare che il campo vettoriale piano in esame sia un campo gradiente, e fin qui ci sono arrivato, analizzando le componenti del vettore;
poi però chiede di determinare un potenziale scalare di tale campo.... e qui iniziano a sorgere i primi problemi, nel senso che proprio non ho capito come si fa anche perchè non riesco a comprendere bene il testo "determinare il potenziale che nel punto (1;1) assume il valore 1"

denghiu

[Lord K]

Portaci questo esempio in dettaglio e vedremo di "delucidarti"

[hidalgo-votailprof]

"Lord K":Portaci questo esempio in dettaglio e vedremo di "delucidarti"

ok
allora l'esercizio in questione da un campo vettoriale piano $1/(x^2*y)i + 1/(xy^2)j$ e chiede di dimostrare che questo sia un campo vettoriale gradiente e quindi di determinare "il potenziale che nel punto (1;1) assume il valore 1"

[hidalgo-votailprof]

upp

[dissonance]

Quel campo vettoriale è definito nei quattro quadranti senza bordo, se non mi sbaglio. Questi sono quattro "pezzi" convessi di piano. Un teorema ti garantisce, in queste ipotesi, che il tuo campo vettoriale è conservativo se è irrotozionale (si dice così? in termini matematici si dice: la forma differenziale è esatta se è chiusa). Quindi verifica che il rotore sia nullo. Per calcolare un potenziale, puoi usare un metodo generale (vedi qui), oppure puoi integrare lungo i segmenti $\bar{(1,1)(x,y)}$: in questo modo ottieni un potenziale che in $(1,1)$ si annulla, e basterà sommare 1.