Potenziale di un campo vettoriale *_*
salve gente matematica, dopo settimane di preparazione per l'esame di analisi 2 (grazie anche al sito che mi è stato davvero d'aiuto 
) sono quasi pronta 
negli ultimi giorni, svolgendo alcuni esercizi delle prove passate mi sono imbattuta in un problemino, nello specifico si tratta della parte finale di questo esercizio
confesso di aver cercato ovunque, tra appunti e libri (dannato professore che scrivi un libro incomprensibile
), ma davvero non riesco a capire come si determini questo potenziale....
c'è qualche anima pia che sarebbe disposta ad illuminarmi??
) sono quasi pronta negli ultimi giorni, svolgendo alcuni esercizi delle prove passate mi sono imbattuta in un problemino, nello specifico si tratta della parte finale di questo esercizio
Si dica se il campo vettoriale piano $1/(x^(2)y)i + 1/(xy^(2))j$ è un campo vettoriale gradiente e nel caso affermativo, se ne determini il potenziale che nel punto (1,1) assume il valore 1
confesso di aver cercato ovunque, tra appunti e libri (dannato professore che scrivi un libro incomprensibile
), ma davvero non riesco a capire come si determini questo potenziale....c'è qualche anima pia che sarebbe disposta ad illuminarmi??
Risposte
Ci si può gettare a verificare condizioni varie, ma in genere la prima cosa da fare è tentare un approccio diretto. Se un potenziale esiste, deve soddisfare la condizioni $\frac{\partial\phi}{\partialx}=\frac{1}{x^2y}, \frac{\partial\phi}{\partialy}=\frac{1}{xy^2}$. Integrando le due relazioni si ha $\phi=-\frac{1}{xy}+g(y), \phi=-\frac{1}{xy}+h(x)$. Affinchè i due risultati siano compatibili, si deve avere $g(y)=h(x)=const$, e quest'ultima costante va poi determinata in modo da soddisfare la richiesta sul valore.
Ci sono vari modi di farlo... Per prima cosa determina le regioni di $RR^2$ su cui la tua funzione è definita. Quindi calcola le derivate (chiamo $f(x,y):=a(x,y)*i+b(x,y)*j$ la funzione di sopra) $(dela) /(dely), (delb)/(delx)$, per valutare il rotore di $f$. Avrai studiato che se questo non è nullo sicuramente un potenziale non c'è. Insomma fai tutte queste verifiche, e vedi se riesci a capire a priori se un potenziale ci sia o meno.
Poi per il calcolo esplicito di una primitiva $F$, puoi per esempio basarti sulla definizione: deve essere $\nablaF=f$. Perciò $(delF)/(delx)(x,y)=a(x,y)$. Se consideriamo $y$ come un parametro, $int (delF)/(delx)(x,y)\ dx=int a(x,y)\ dx$ e quindi $F(x,y) = \text{una primitiva di a + una costante}=A(x,y)+c(y)$. Infatti per ogni $y$ la tua $c$ è una costante ma non puoi escludere che vari al variare di $y$. Adesso calcola la derivata rispetto ad $y$ di $F$:
$(delF)/(dely)=b(x,y)=(delA)/(dely)+c'(y)$. Se un potenziale c'è, nell'equazione $b(x,y)=(delA)/(dely)+c'(y)$ deve sparire la dipendenza da $x$, e perciò l'equazione diventa $c'(y)=\text{una funzione della sola y}$. Risolvi questa equazione con un integrale indefinito, ottieni una espressione esplicita di $c(y)$ e la soluzione è $F(x,y) = A(x,y)+c(y) +\text{una costante}$.
Spero di essere stato chiaro!
Poi per il calcolo esplicito di una primitiva $F$, puoi per esempio basarti sulla definizione: deve essere $\nablaF=f$. Perciò $(delF)/(delx)(x,y)=a(x,y)$. Se consideriamo $y$ come un parametro, $int (delF)/(delx)(x,y)\ dx=int a(x,y)\ dx$ e quindi $F(x,y) = \text{una primitiva di a + una costante}=A(x,y)+c(y)$. Infatti per ogni $y$ la tua $c$ è una costante ma non puoi escludere che vari al variare di $y$. Adesso calcola la derivata rispetto ad $y$ di $F$:
$(delF)/(dely)=b(x,y)=(delA)/(dely)+c'(y)$. Se un potenziale c'è, nell'equazione $b(x,y)=(delA)/(dely)+c'(y)$ deve sparire la dipendenza da $x$, e perciò l'equazione diventa $c'(y)=\text{una funzione della sola y}$. Risolvi questa equazione con un integrale indefinito, ottieni una espressione esplicita di $c(y)$ e la soluzione è $F(x,y) = A(x,y)+c(y) +\text{una costante}$.
Spero di essere stato chiaro!
grazie mille spero di aver capito
spero di aver capito
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