Potenze non intere di una matrice quadrata

[onailativ]

Ciao a tutti! Avrei una domanda.. come si può definire una potenza non intera di una matrice quadrata $A$? Inoltre, se $A$ appartiene a un gruppo $\mathcal{G}$ munito della moltiplicazione matriciale, è vero che $A^t \in \mathcal{G}, \forall \t \in \R$? Quello che vorrei capire è, nel caso $A$ ammetta un logaritmo reale , se vale $e^{ln(A)t}=(e^{ln(A)})^t=A^t$. Grazie mille.. ciaoo

[dissonance]

Esiste una funzione detta "esponenziale di matrice", definita per serie come l'esponenziale di scalari... Ma ne so pochino. Qui ne abbiamo parlato, tempo fa. C'è anche un riferimento bibliografico al libro di Frank Warner Foundations of differentiable manifolds and Lie groups che forse conosci.

[onailativ]

Si, la matrice esponenziale è alla base della relazione tra un gruppo di Lie di matrici e la corrispondente algebra di Lie. Un logaritmo reale di una matrice reale quadrata $G$ è una soluzione dell'equazione $e^X=G$, dove l'esponenziale è definito per serie. In un articolo in cui mi sono imbattuto per la tesi, assumendo l'esistenza del logaritmo, pongono smaliziatamente $G^t=e^{ln(G)t}$ dove l'esponenziale di una matrice è ben definito. Questa potrebbe essere una definizione della matrice esponenziale $G^t$, cioè si avrebbe in automatico $(e^{ln(G)}) ^t=e^{ln(G)t}$ che generalizza la familiare proprietà degli esponenziali, ma in tal caso se $G$ non ammette logaritmo come si può definire $G^t$?. Inoltre nell'articolo danno per scontato che se $G$ appartiene ad un gruppo anche $G^t$ vi appartiene. Questo è certamente vero per ogni $t$ intero dove $G^t$ è la matrice $G$ moltiplicata per se stessa $t$ volte, ma non capisco come si può estendere il risultato a tutti i $t$ reali. Ora vedo se riesco a recuperare un po' di materiale su questo argomento. Grazie per la risposta!! Ciao!

[onailativ]

In analogia con i numeri reali si ha che , se $G$ ammette logaritmo reale $G^t$ è effettivamente definita come $e^{ln(G)t}$. Se $G$ non ammette logaritmo reale $G^t$ è definita sul campo $\mathbb{C}$ a patto che $G$ sia invertibile (esattamente come $x^t$ se $x<0$). Il mio problema ora è capire come mai, dato $G$ in un gruppo di Lie di matrici, $ln(G)$ appartiene alla corrispondente algebra di Lie. Infatti la caratterizzazione dell'algebra di Lie $\mathcal{A}$ di un gruppo di Lie $\mathcal{G}$ è data da: $X \in \mathcal{A}$ s.s.e $e^{Xt}\in \mathcal{G} ,\forall t \in \mathbb{R}$.