Potenza di una matrice

[SaturnV]

Sia A una matrice quadrata.
Che senso ha calcolare $A^0$ ?
A naso direi che si definisce convenzionalmente come il numero 1, ma così si passa arbitrariamente da una matrice a un numero reale!
Come si interpreta questa strana elevazione a potenza?
L'ho trovata perchè in un esercizio mi si chiede di calcolare $e^A$ utilizzando gli sviluppi di Taylor.

Grazie mille

Fabio

[Eredir]

Non si definisce convenzionalmente con il numero 1 ma con la matrice identità.

[_luca.barletta]

Si interpreta come $A^0=I$ matrice identità

[zorn1]

Beh, in ogni monoide $(S,*)$ si definisce $x^0=1$, $1$=identità del monoide.

Se $S$=insieme matrici $n*n$, $*$=prodotto tra matrici, allora $I$ è l'identità di tale monoide.

E al di là del fatto formale, è utile considerarlo così dato che si possono estendere le proprietà delle potenze con tale posizione.

[e^iteta]

poiché $e^x=sum_(n=0)^(+oo)x^n/(n!)$
puoi "estendere" tale definizione anche nell'insieme delle matrici, ponendo
$e^A=sum_(n=0)^(+oo)A^n/(n!)$
e verificando successivamente che questo oggetto, che ovviamente in fin dei conti è una matrice, rispecchia tutte le proprietà della funzione esponenziale in campo reale (ho supposto che le matrici fossero a valori reali).
ora non ti resta che comprendere che $A^n=A*A*A...*A$ n volte, dove $*$ è il prodotto usualmente definito tra matrici.
se vuoi un esempio dell'utilità di questa roba, io l'ho scoperta nelle equazioni differenziali:
come $e^kt$ (t è la variabile indipendente) è una soluzione di $y'=ky$
$e^At$ è una soluzione del sistema $y'=Ay$