Potenza di una matrice
Salve a tutti, ho incontrato il seguente problema:
(matrici 2x2, righe separate dal ";" )
G = [0.5 0.25 ; 0 0.5]
G^k = [0.5^k k*0.5^(k+1); 0 0.5^k]
dove non riesco a capire da dove abbiano fatto saltar fuori la matrice G^k: mi sta bene che si elevino a potenza gli el. diagonali, ma non mi spiego l'el. g(1,2)
Immagino che con matlab si possa trovare un risultato del genere, definendo k come variabile simbolica: ci ho provato (con syms k) ma vuole k intero e io nn so come definirglielo perchè gli vada bene!
Se poi il metodo analitico è + svelto e qualcuno me lo svela, tanto meglio
Grazie in anticipo, ciao!!
(matrici 2x2, righe separate dal ";" )
G = [0.5 0.25 ; 0 0.5]
G^k = [0.5^k k*0.5^(k+1); 0 0.5^k]
dove non riesco a capire da dove abbiano fatto saltar fuori la matrice G^k: mi sta bene che si elevino a potenza gli el. diagonali, ma non mi spiego l'el. g(1,2)
Immagino che con matlab si possa trovare un risultato del genere, definendo k come variabile simbolica: ci ho provato (con syms k) ma vuole k intero e io nn so come definirglielo perchè gli vada bene!
Se poi il metodo analitico è + svelto e qualcuno me lo svela, tanto meglio
Grazie in anticipo, ciao!!
Risposte
non ho capito se il tuo problema è semplicemente di calcolo della potenza di una matrice... basta fare G*G*... k volte. Pensa che si definisce pure e^A essendo A una matrice..
Certo, è G*G*... k volte, ma a me interesserebbe lasciare gli elementi della matrice risultante come funzioni di k (vedi esempio sopra riportato).
In altre parole, G è data e k è un parametro: NON voglio assegnargli un valore, ma lasciarlo indicato.
Ricordo che l'esponenziale di matrice lo abbiamo usato in Controlli Automatici...
Quello che mi chiedo è:
nel caso particolare del problema postato all'inizio, come hanno fatto a determinare gli el. di G^k ? x via analitica o l'hanno sparato fuori grazie ad un prog. di calcolo simbolico?
In altre parole, G è data e k è un parametro: NON voglio assegnargli un valore, ma lasciarlo indicato.
Ricordo che l'esponenziale di matrice lo abbiamo usato in Controlli Automatici...
Quello che mi chiedo è:
nel caso particolare del problema postato all'inizio, come hanno fatto a determinare gli el. di G^k ? x via analitica o l'hanno sparato fuori grazie ad un prog. di calcolo simbolico?
Secondo me si puo' ragionare per induzione sulla matrice
(piu' generale):
h=[a,a^2;0,a]
Per k=2 la formula indicata e' certamente vera in quanto
e' (prodotto righe per colonne) :
[a,a^2;0,a]*[a,a^2;0,a]=[a^2,2a^3;0,a^2]
Supponiamo ora la formula vera per un k generico e
dimostramola vera anche per k+1.Infatti e':
h^(k+1)=h^k*h=[a^k,ka^(k+1);0,a^k]*[a,a^2;0,a]=
=[a^(k+1),(k+1)a^(k+2);0,a^(k+1)]
che e' quello che si voleva provare.
Ciao.
(piu' generale):
h=[a,a^2;0,a]
Per k=2 la formula indicata e' certamente vera in quanto
e' (prodotto righe per colonne) :
[a,a^2;0,a]*[a,a^2;0,a]=[a^2,2a^3;0,a^2]
Supponiamo ora la formula vera per un k generico e
dimostramola vera anche per k+1.Infatti e':
h^(k+1)=h^k*h=[a^k,ka^(k+1);0,a^k]*[a,a^2;0,a]=
=[a^(k+1),(k+1)a^(k+2);0,a^(k+1)]
che e' quello che si voleva provare.
Ciao.
Bella dimostrazione , archimede !
Camillo
Camillo
già... l'hanno determinato per induzione.. pare
Grazie ,Camillo ( o Enrico?)
Leggo che sei ingegnere ,ma in che cosa esattamente?.
Ciao.
Leggo che sei ingegnere ,ma in che cosa esattamente?.
Ciao.
Il mio nome è Camillo, ingegnere in Elettronica (allora si chiamava così), nel lavoro mi sono sempre occupato di Telecomunicazioni e tu ? studente di Matematica ?
Ciao
Camillo
Ciao
Camillo
Ho studiato matematica ma ora m'interessso
di tutt'altro.Mi piace comunque coltivare
questa mia passione (per quel che mi riesce!).
Ciao.
di tutt'altro.Mi piace comunque coltivare
questa mia passione (per quel che mi riesce!).
Ciao.
Grazie Camillo!
? Il grazie credo sia dovuto ad archimede !!!
Camillo
Camillo
Sì certo, intendevo grazie Archimede! scusate
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