Potenza di matrice
L'esercizio dice:
Ricordando che $X^-1A^nX$ = $(X^-1AX)^n$ , determinare la matrice A tale che $A^3=((-20,-7),(84,29))$ e calcolare $(2,1)A$.
Io ho calcolato gli autovalori della matrice data e ho intuito di fare la radice cubica di questi, ma cosa devo farne poi?
Sono nel pallone xD
Ricordando che $X^-1A^nX$ = $(X^-1AX)^n$ , determinare la matrice A tale che $A^3=((-20,-7),(84,29))$ e calcolare $(2,1)A$.
Io ho calcolato gli autovalori della matrice data e ho intuito di fare la radice cubica di questi, ma cosa devo farne poi?
Sono nel pallone xD
Risposte
Calcola gli autovettori di \(\displaystyle {{A}}^{{3}}={\left(\matrix{-{20}&-{7}\\{84}&{29}}\right)} \).
Quindi puoi calcolare la matrice X
\(\displaystyle A^n={X}{{P}}{{X}}^{{-{{1}}}} \)
con \(\displaystyle P= \left(\matrix{\lambda_1&0\\0&\lambda_2 }\right) \)
Quindi puoi calcolare la matrice X
\(\displaystyle A^n={X}{{P}}{{X}}^{{-{{1}}}} \)
con \(\displaystyle P= \left(\matrix{\lambda_1&0\\0&\lambda_2 }\right) \)
Ok e come si continua? Come calcolo la matrice X?
"Xandyx91":
Ok e come si continua? Come calcolo la matrice X?
Puoi calcolare gli autovettori \(\displaystyle X_1 \) e \(\displaystyle X_2 \) ?
\(\displaystyle X=(X_1 X_2) \)
Trovo che gli autovettori sono $(1,-3)$ e $(1,4)$ mi trovo dunque la $X=((1,1),(-3,4))$ la cui inversa è $1/7((4,-1),(3,1))$. Adesso mi trovo: $X^-1PX$ e poi come continuo?
quindi nel tuo caso per $n=3$ ottieni
$A^3=XD^3 X^{-1}$ cioè $A^3$ è simile a $D^3$ quindi è facile trovare $X$ dove per $X$ intendo la matrice che diagonalizza $A$..ma adesso trovata $X$ hai che $D=X^{-1}AX$ quindi $A=XDX^{-1]$.
$A^3=XD^3 X^{-1}$ cioè $A^3$ è simile a $D^3$ quindi è facile trovare $X$ dove per $X$ intendo la matrice che diagonalizza $A$..ma adesso trovata $X$ hai che $D=X^{-1}AX$ quindi $A=XDX^{-1]$.
Dunque dato che $D^3=((1,0),(0,8))$, dunque $D=((1,0),(0,2))$. Infine per trovare $A$ faccio $A=1/7((1,1),(-3,4))*((1,0),(0,2))*((4,-1),(3,1))=((10/7,1/7),(12/7,11/7))$ e facendo come richiesto $(2,1)A$ il risultato non viene, perchè dovrebbe venire $(8,3)$ . Cosa sbaglio? T.T
\(\displaystyle \displaystyle {A}={\left(\matrix{{4}&-{1}\\{3}&{1}}\right)} \cdot{\left(\matrix{{1}&{0}\\{0}&{2}}\right)}\cdot\frac{{1}}{{7}}{\left(\matrix{{1}&{1}\\-{3}&{4}}\right)}=... \)
Non viene lo stesso! xD
Ci sarà un errore nel risultato.
Ci sarà un errore nel risultato.
In realtà gli autovettori sono \(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1\\-4 \end{pmatrix} \)
Pertanto abbiamo la formula:
\(\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&1\\-3&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-3&-4 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\-3&-8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&1\\-3&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&-1\\12&5 \end{pmatrix} \)
Alla fine si ha:
\(\displaystyle \begin{matrix}(2&1)\end{matrix} \begin{pmatrix}-2&-1\\12&5 \end{pmatrix}=\begin{matrix}(8&3)\end{matrix} \)
Pertanto abbiamo la formula:
\(\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&1\\-3&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-3&-4 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\-3&-8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&1\\-3&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&-1\\12&5 \end{pmatrix} \)
Alla fine si ha:
\(\displaystyle \begin{matrix}(2&1)\end{matrix} \begin{pmatrix}-2&-1\\12&5 \end{pmatrix}=\begin{matrix}(8&3)\end{matrix} \)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo