Possibili dimensioni di spazio vettoriale

[riccacasa]

$Se f: R^8→R^5$ è lineare, $2e_1−5e_2 not\in Im(f) $ , $X⊆R^8$ e $dim(X\capKer(f))= 1 $ , che dimensione può avere X?

io ho trovato che, siccome f non è suriettiva allora: $2e_1−5e_2 \in Ker(f)$ e quindi che dimKer(f) va da 4 ad 8 con dimIm(f) che va da 0 a 4 per il teorema di nullità più rango. Da qui non riesco a sfruttare altre condizioni per arrivare alle possibili dimensioni di X.

[Maci86]

Intanto $X≠0$,quindi ha minimo dimensione 1. La dimensione quindi varia da 1 a 8. Il kernel è dello spazio di partenza, mentre l'immagine è nello spazio di arrivo, attenta!

[riccacasa]

Si ok ma non mi hai detto cme si risove l'esercizio.

[Maci86]

Come ho scritto, son due passaggi!

[riccacasa]

Si scusa ma sb particolarmente duro, vorrei, per favore , una dmostrazione formale. Grazie e scusa per l'insistenza.

[Maci86]

$dim(X\capKer(f))= 1 Rightarrow dim X ≥1$
Questa è l'unica condizione che vale, le altre non hanno alcun valore per determinare X.
Per Grassman:
$dim X≤ dim R^8 Rightarrow dim X≤8$
Metti assieme:
$1≤dim X≤ 8$