Possibile che non esista l'inverso di un prodotto scalare?
E' quello che sinceramente mi chiedevo da tempo
se:
$\vec C = \vecA * \vec B => \vec C = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z =>\{(C_x = A_x B_x),(C_y = A_y B_y),(C_z = A_z B_z):}$
allora penso che sia giusto scrivere
$\vec A = \vec C/\vec B => \vec A = C_x /B_x + C_y /B_y + C_z /B_z =>\{(A_x = C_x/ B_x),(A_y = C_y /B_y),(A_z = C_z/ B_z):}$
Sinceramente questa non l'ho trovata da nessuna parte forse starei facendo un oltraggio io alla matematica.... ma sembra un ragionamento giusto....
voi che ne pensate?
se:
$\vec C = \vecA * \vec B => \vec C = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z =>\{(C_x = A_x B_x),(C_y = A_y B_y),(C_z = A_z B_z):}$
allora penso che sia giusto scrivere
$\vec A = \vec C/\vec B => \vec A = C_x /B_x + C_y /B_y + C_z /B_z =>\{(A_x = C_x/ B_x),(A_y = C_y /B_y),(A_z = C_z/ B_z):}$
Sinceramente questa non l'ho trovata da nessuna parte forse starei facendo un oltraggio io alla matematica.... ma sembra un ragionamento giusto....
voi che ne pensate?
Risposte
"davyponte":
\( \color{red}{\vec C = \vec A \cdot \vec B} \)
Sinceramente sono io che non capisco... se questo è un prodotto scalare, come può il risultato essere un vettore?!
Perchè non un vettore il risultato?
Definizione molto informale di prodotto scalare: operazione matematica che associa a due vettori uno scalare (cioè un numero, una costante). Detto questo, tu hai scritto "vettore scalar vettore = vettore", quindi c'è qualcosa che non va...
Sinceramente da wikipedia:
In calcolo vettoriale il prodotto scalare è un'operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo.[1] Si tratta di un prodotto interno sul campo reale, ovvero una forma bilineare simmetrica definita positiva a valori reali.
In calcolo vettoriale il prodotto scalare è un'operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo.[1] Si tratta di un prodotto interno sul campo reale, ovvero una forma bilineare simmetrica definita positiva a valori reali.
Appunto... un elemento del campo su cui lo spazio è modellato! Ancora dopo la definizione precisa che si tratta di una forma a valori reali... quindi il risultato è un numero reale, non certamente un vettore! A titolo di esempio, se \( \mathbf{u} = (1,2,3) \) e \( \mathbf{v} = (4,5,6) \), allora il loro prodotto scalare è il numero
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32. \]
Ora, è piuttosto chiaro che il prodotto scalare non può essere invertito: basta osservare che, preso un qualsiasi numero reale, ci sono infinite coppie di vettori il cui prodotto scalare è quel numero. Nel nostro caso, ancora a titolo di esempio, il prodotto scalare di tutti i vettori del tipo \( (32,a,b) \) e \( (1,0,0) \), con \( a \) e \( b \) reali qualsiasi, è ancora il famigerato numero \( 32 \)!
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32. \]
Ora, è piuttosto chiaro che il prodotto scalare non può essere invertito: basta osservare che, preso un qualsiasi numero reale, ci sono infinite coppie di vettori il cui prodotto scalare è quel numero. Nel nostro caso, ancora a titolo di esempio, il prodotto scalare di tutti i vettori del tipo \( (32,a,b) \) e \( (1,0,0) \), con \( a \) e \( b \) reali qualsiasi, è ancora il famigerato numero \( 32 \)!
Si ma in pratica hai fatto la somma del risultato dei vari versori
$4\hatx+10\haty+18\hatz$
!!!!
$4\hatx+10\haty+18\hatz$
!!!!
"davyponte":
Sinceramente da wikipedia:
In calcolo vettoriale il prodotto scalare è un'operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo.[1] Si tratta di un prodotto interno sul campo reale, ovvero una forma bilineare simmetrica definita positiva a valori reali.
Forse devi imparare ancora a comprendere quello che leggi. Wikipedia dice proprio che devi prendere due vettori, e applicando il prodotto scalare agli stessi avrai come risultato un valore del campo su cui è definito lo spazio vettoriale. Quindi non ottieni un vettore.
Un caso particolare si ha quando il tuo spazio vettoriale è ad esempio \(R\), in questo caso il prodotto scalare coincide con il prodotto in \(R\), infatti considera due vettori dello spazio
\[5\cdot4=20\]
Se però consideri già \(R^{2}\), con un'altro esempio
\[(2,4)\cdot(2,1)=8\in R\]
cioè non appartiene a \(R^{2}\)
Ah....quindi quello che scrivevo come domanda non vale cioè
$C_x \hatx=A_x B_x \hatx$ e di conseguenza $A_x\hatx=C_x/B_x\hatx$
Per un prodotto
$\vec C= \vec A * \vec B $
?
Scusate la mia ignoranA se sbaglio ma allora come viene chiamato questo simile prodotto vettoriale?
$C_x \hatx=A_x B_x \hatx$ e di conseguenza $A_x\hatx=C_x/B_x\hatx$
Per un prodotto
$\vec C= \vec A * \vec B $
?
Scusate la mia ignoranA se sbaglio ma allora come viene chiamato questo simile prodotto vettoriale?
\[\vec{A}\times\vec{B}=\vec{C}\]
Questo è un prodotto vettoriale, cioè prendi due vettori e hai come risultato un vettore (in realtà pseudovettore)
\[\vec{A}\cdot\vec{B}=K\]
Questo è un prodotto scalare, cioè prendi due vettori e hai come risultato uno scalare
Questo è un prodotto vettoriale, cioè prendi due vettori e hai come risultato un vettore (in realtà pseudovettore)
\[\vec{A}\cdot\vec{B}=K\]
Questo è un prodotto scalare, cioè prendi due vettori e hai come risultato uno scalare
"davyponte":
Si ma in pratica hai fatto la somma del risultato dei vari versori
$4\hatx+10\haty+18\hatz$
!!!!
Assolutamente no! Io ho sommato tre numeri, non tre vettori...
"davyponte":
Ah....quindi quello che scrivevo come domanda non vale cioè
$ C_x \hatx=A_x B_x \hatx $ e di conseguenza $ A_x\hatx=C_x/B_x\hatx $
Per un prodotto
$ \vec C= \vec A * \vec B $
?
Scusate la mia ignoranA se sbaglio ma allora come viene chiamato questo simile prodotto vettoriale?
Quella di cui parli, sarebbe una definizione di prodotto, diciamolo \( \star \), dato da:
\[ \mathbf{u} \star \mathbf{v} = (u_x \mathbf{i} + u_y \mathbf{j} + u_z \mathbf{k}) \star (v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k}) := u_x v_x \mathbf{i} + u_y v_y \mathbf{j} + u_z v_z \mathbf{k}, \]
la quale però non è una operazione significativa. In particolare, è ben distinta dall'operazione di prodotto vettoriale definita da
\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} := (u_y v_z - u_z v_y) \mathbf{i} + (u_z v_x - u_x v_z) \mathbf{j} + (u_x v_y - u_y v_x) \mathbf{k}. \]
Ok ho capito ora ,leggendo bene sul libro non spuntano neanche i versori....giusto ...è una somma....xó quello che mi chiedo ancora e se esistesse l'inverso dello scalare cioè come dici tu cuspide83 se : $K=\vec A *\vec B$ quale sia l'inversa equazione del prodotto scalare per conoscere $\vec B$ risaputi $K$ e $\vec A$ ?
s.stuv hai pensato bene nel capirmi scrivendo $u⋆v=(u_x i+u_y j+u_z k)⋆(v_x i+v_y j+v_z k)=u_x v_x i+u_y v_y j+u_z v_z k$
Ma in effetti ho solo inteso male il prodotto scalare
A dire la verità il tutto nasce da un problema di analisi applicata. C'è un'altro topic che ho aperto in questo forum,ma in un'altra sezione,parlo di un argomento di magnetostatica....
Sinceramente penso di essermi ricondotto alla soluzione ,a meno che non abbia anche lì messo sotto sopra i teoremi... Specialmodo quello della divergenza....in definitiva arriverei a ció
$\vec K(r)*\hat N =\nabla(\vec M xx \hat N)$
In fin dei conti dovrei calcolarmi $\vec K(r)$
Ma per non uscire fuori topic ne parlerei in quello adatto
s.stuv hai pensato bene nel capirmi scrivendo $u⋆v=(u_x i+u_y j+u_z k)⋆(v_x i+v_y j+v_z k)=u_x v_x i+u_y v_y j+u_z v_z k$
Ma in effetti ho solo inteso male il prodotto scalare
A dire la verità il tutto nasce da un problema di analisi applicata. C'è un'altro topic che ho aperto in questo forum,ma in un'altra sezione,parlo di un argomento di magnetostatica....
Sinceramente penso di essermi ricondotto alla soluzione ,a meno che non abbia anche lì messo sotto sopra i teoremi... Specialmodo quello della divergenza....in definitiva arriverei a ció
$\vec K(r)*\hat N =\nabla(\vec M xx \hat N)$
In fin dei conti dovrei calcolarmi $\vec K(r)$
Ma per non uscire fuori topic ne parlerei in quello adatto
Circa l'invertibilità del prodotto scalare, ti ho risposto precedentemente... in definitiva, già come applicazione da \( V \times V \) in \( \mathbb{R} \) il prodotto scalare non è iniettivo, e pertanto non può essere invertito. Per quanto concerne il problema originario, ovviamente occorre sapere i dettagli, ma come giustamente suggerivi è conveniente parlarne nel thread apposito.
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