Posizioni tra rette e piani
siano $r$ ed $s$ due rette di uno spazio affine di dimensione n.
Provare che esiste sempre un piano per r e parallelo ad s.
Purtropponon saprei proprio come ragionare, mi hanno detto che questo tipo di problemi si risolvono considerando gli spazi direttori, vi prego aiutatemi, sono in vista di un esame.
Provare che esiste sempre un piano per r e parallelo ad s.
Purtropponon saprei proprio come ragionare, mi hanno detto che questo tipo di problemi si risolvono considerando gli spazi direttori, vi prego aiutatemi, sono in vista di un esame.
Risposte
Considera $r$ individuata dal punto $A$ e dal vettore direttore $v$, e considera $r$ individuata da $B$ e dal vettore di direzione $u$.
Sai che $A_r$ è parallela a $A_s$ se e solo se $D(A_r) sub D(A_s)$, dove $D(A_r),D(A_s)$ sono i rispettivi spazi di direzione. Ovviamente $A_s,A_r$ sono varietà lineari e risulta $r<=s$
A questo punto costruisci $pi$ individuato da $A,u,v$ e verifica che sia il piano cercato.
Sai che $A_r$ è parallela a $A_s$ se e solo se $D(A_r) sub D(A_s)$, dove $D(A_r),D(A_s)$ sono i rispettivi spazi di direzione. Ovviamente $A_s,A_r$ sono varietà lineari e risulta $r<=s$
A questo punto costruisci $pi$ individuato da $A,u,v$ e verifica che sia il piano cercato.
Ma non dovrei considerare prima il piano per r e poi impostare la condizione di parallelismo?
Scusa, ma no ho ben capito.
In generale questo tipo di esercizi lo risolvo considerando le seguenti relazioni tra le dimensioni di varieltà lineri r, s , c=spazio congiungente, i=spazio intersezione; j=spazio direttore intersezione degli spazi direttori di r ed s:
se l'intersezione tra r e s non è vuota:
r+s=c+i
se l'intersezione tra r e s è vuota:
r+s=(c-1)+j
'???????????????????
Scusa, ma no ho ben capito.
In generale questo tipo di esercizi lo risolvo considerando le seguenti relazioni tra le dimensioni di varieltà lineri r, s , c=spazio congiungente, i=spazio intersezione; j=spazio direttore intersezione degli spazi direttori di r ed s:
se l'intersezione tra r e s non è vuota:
r+s=c+i
se l'intersezione tra r e s è vuota:
r+s=(c-1)+j
'???????????????????
Se [tex]$r$[/tex] ed [tex]$s$[/tex] fossero parallele od incidenti basterebbe considerare il piano [tex]$\pi$[/tex] da esse generato!
Se [tex]$r$[/tex] ed [tex]$s$[/tex] fossero sghembe consideri il piano [tex]$\pi$[/tex] avente per spazio direttore lo spazio vettoriale generato dagli spazi direttori delle date rette e passante per [tex]$r$[/tex].
Se [tex]$r$[/tex] ed [tex]$s$[/tex] fossero sghembe consideri il piano [tex]$\pi$[/tex] avente per spazio direttore lo spazio vettoriale generato dagli spazi direttori delle date rette e passante per [tex]$r$[/tex].
Ma nel mio discorso c'è tutto ciò che dici biggest.
Le varietà lineari congiungenti etc servono a poco o comunque a complicarsi la vita.
Il procedimento è chiaro: costruiamo un piano che contenga $r$ (pertanto individuato dallo stesso punto e dalla stessa giacitura) ed imponiamo il parallelismo facendo sì che la giacitura del piano contenga quella della retta (come segue dalla definizione di parallelismo tra varietà lineari) ed è finito.
Le varietà lineari congiungenti etc servono a poco o comunque a complicarsi la vita.
Il procedimento è chiaro: costruiamo un piano che contenga $r$ (pertanto individuato dallo stesso punto e dalla stessa giacitura) ed imponiamo il parallelismo facendo sì che la giacitura del piano contenga quella della retta (come segue dalla definizione di parallelismo tra varietà lineari) ed è finito.
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