Posizione rette al variare di h

[christian951]

Ciao a tutti,qualcuno potrebbe aiutarmi in questo esercizio dove mi è richiesto di trovare la posizione di due rette al variare di h? grazie in anticipo!.

e rette sono scritte nella forma :

$ r{ ( hx+4y+2z+1=0 ),( x+y+z=0 ):} $ $ s={ ( x=5+2t ),(y=-1+t ),( z=-3t ):} $

[Magma1]

Potresti cominciare l'esercizio ricavandoti il vettore direttore di $r$, che è dato da...?

[christian951]

"Magma":Potresti cominciare l'esercizio ricavandoti il vettore direttore di $r$, che è dato da...?

allora per quanto riguarda i direttori di r ed s mi sono trovato

vr=(2,2-h,h-4) e us=(2,1,-3)

Però poi non ho capito come devo procedere per trovare un qualsiasi punto Pr(x,y,z) della retta r,in quanto c'è un parametro...

[Magma1]

Ok, giusto ! Ma per essere più rigorosi è meglio procedere per un'altra via.

Per non farti perdere ulteriore tempo ho ricavato io la forma cartesiana di $s: { ( x-2y-7=0 ),( z+3y+3=0 ):}$ [nota]Considerando $t=y+1$.[/nota]

Ora, lo studio della posizione fra due rette equivale allo studio di un sistema lineare:

${ ( hx+4y+2z=-1 ),( x+y+z=0 ),( x-2y=7 ),( z+3y=-3 ):}$

Considerando la matrice dei coefficienti $A$ e la matrice completa $B$

$A=( ( h , 4 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , -2 , 0 ),( 0 , 3 , 1 ) );$ $B=( ( h , 4 , 2, -1 ),( 1 , 1 , 1,0 ),( 1 , -2 , 0,7 ),( 0 , 3 , 1, -3 ) ) $

Allora si ha che:

$1)$ Il sistema non è compatibile $hArr r(A)
$1.1$ $r(A)=2 rArr r || s \text{ e non coincidenti}$

$1.2$ $r(A)=3 rArr r, s \text{ sono sghmbe}$

$2)$ Il sistema è compatibile

$2.1$ $r(A)=2=r(B) hArr r=s$

$2.2$ $r(A)=3=r(B) hArr r nn s={\text{ punto} in RR^3}$

Non ti resta che verificare per quali valori di $h in RR$ si verificano i precedenti casi!



P.S. A cosa ti serve un punto su $r$?

P.P.S. Ah... ecco perché ti avevo chiesto di cercare il vettore direttore di $r$ : per quanto riguarda l'ortogonalità, bisogna vedere quando il prodotto scalare dei due vettori direttori sia zero!

[christian951]

"Magma":Ok, giusto ! Ma per essere più rigorosi è meglio procedere per un'altra via.

Per non farti perdere ulteriore tempo ho ricavato io la forma cartesiana di $s: { ( x-2y-7=0 ),( z+3y+3=0 ):}$ [nota]Considerando $t=y+1$.[/nota]

Ora, lo studio della posizione fra due rette equivale allo studio di un sistema lineare:

${ ( hx+4y+2z=-1 ),( x+y+z=0 ),( x-2y=7 ),( z+3y=-3 ):}$

Considerando la matrice dei coefficienti $A$ e la matrice completa $B$

$A=( ( h , 4 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , -2 , 0 ),( 0 , 3 , 1 ) );$ $B=( ( h , 4 , 2, -1 ),( 1 , 1 , 1,0 ),( 1 , -2 , 0,7 ),( 0 , 3 , 1, -3 ) ) $

Allora si ha che:

$1)$ Il sistema non è compatibile $hArr r(A)
$1.1$ $r(A)=2 rArr r || s \text{ e non coincidenti}$

$1.2$ $r(A)=3 rArr r, s \text{ sono sghmbe}$

$2)$ Il sistema è compatibile

$2.1$ $r(A)=2=r(B) hArr r=s$

$2.2$ $r(A)=3=r(B) hArr r nn s={\text{ punto} in RR^3}$

Non ti resta che verificare per quali valori di $h in RR$ si verificano i precedenti casi!



P.S. A cosa ti serve un punto su $r$?

P.P.S. Ah... ecco perché ti avevo chiesto di cercare il vettore direttore di $r$ : per quanto riguarda l'ortogonalità, bisogna vedere quando il prodotto scalare dei due vettori direttori sia zero!

Grazie mille gentilissimo,tutto chiaro

[christian951]

"Magma":Ok, giusto ! Ma per essere più rigorosi è meglio procedere per un'altra via.

Per non farti perdere ulteriore tempo ho ricavato io la forma cartesiana di $s: { ( x-2y-7=0 ),( z+3y+3=0 ):}$ [nota]Considerando $t=y+1$.[/nota]

Ora, lo studio della posizione fra due rette equivale allo studio di un sistema lineare:

${ ( hx+4y+2z=-1 ),( x+y+z=0 ),( x-2y=7 ),( z+3y=-3 ):}$

Considerando la matrice dei coefficienti $A$ e la matrice completa $B$

$A=( ( h , 4 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , -2 , 0 ),( 0 , 3 , 1 ) );$ $B=( ( h , 4 , 2, -1 ),( 1 , 1 , 1,0 ),( 1 , -2 , 0,7 ),( 0 , 3 , 1, -3 ) ) $

Allora si ha che:

$1)$ Il sistema non è compatibile $hArr r(A)
$1.1$ $r(A)=2 rArr r || s \text{ e non coincidenti}$

$1.2$ $r(A)=3 rArr r, s \text{ sono sghmbe}$

$2)$ Il sistema è compatibile

$2.1$ $r(A)=2=r(B) hArr r=s$

$2.2$ $r(A)=3=r(B) hArr r nn s={\text{ punto} in RR^3}$

Non ti resta che verificare per quali valori di $h in RR$ si verificano i precedenti casi!



P.S. A cosa ti serve un punto su $r$?

P.P.S. Ah... ecco perché ti avevo chiesto di cercare il vettore direttore di $r$ : per quanto riguarda l'ortogonalità, bisogna vedere quando il prodotto scalare dei due vettori direttori sia zero!

Scusami ancora calcolando i due ranghi mi trovo che Rk(A)=3 mentre Rk(B)=4 se h è diverso da 0 e Rk(B)=2 se h=0,quindi ho comparato Rk(A)rk(A)...cosa concludo?

[Magma1]

"christian95":
Scusami ancora calcolando i due ranghi mi trovo che $Rk(A)=3$ mentre $Rk(B)=4$ se $hne0$ e $Rk(B)=2$ se $h=0$,quindi ho comparato$ Rk(A)rk(A)$...cosa concludo?

Non ho capito bene la situazione.

hai trovato che per

$hne 0,$ $ r(A)=3<4=r(B) rArr$ sono sghembe

$h=0,$ $ r(A)=3>2=r(B)$ (ho capito bene ?) In questo caso vuol dire che hai fatto qualche errore di calcolo
(La matrice completa non può avere il rango minore della matrice dei coefficienti!).