Posizione retta-piano in A^3
Ho un pò di dubbi che sono anche legati a questo esercizio:
Nello spazio affine A^3 si considerino il piano $a : x-y+z-1=0$ e la retta $r$ passante per i punti $B(2,-2,2) C(3,-2,1)$.
Bisogna determinarne la mutua posizione.
ora facilmente mi ricavo i coseni direttori
$a:(1,-1,1)$
$r:(1,0,-1)$. Non sono proporzionali perciò la retta non è perpendicolare al piano(anche se non si dovrebbe parlare di perp in A^3)
A questo punto facendo il prodotto interno mi accorgo che ottengo 0 perciò concludo che $a$ e $r$sono paralleli ... non riesco bene a capire l'errore. In particolare non capisco quale sia il legame tra coseni direttori di una retta e di un piano.
Nello spazio affine A^3 si considerino il piano $a : x-y+z-1=0$ e la retta $r$ passante per i punti $B(2,-2,2) C(3,-2,1)$.
Bisogna determinarne la mutua posizione.
ora facilmente mi ricavo i coseni direttori
$a:(1,-1,1)$
$r:(1,0,-1)$. Non sono proporzionali perciò la retta non è perpendicolare al piano(anche se non si dovrebbe parlare di perp in A^3)
A questo punto facendo il prodotto interno mi accorgo che ottengo 0 perciò concludo che $a$ e $r$sono paralleli ... non riesco bene a capire l'errore. In particolare non capisco quale sia il legame tra coseni direttori di una retta e di un piano.
Risposte
Il vettore direzionale di un piano è un vettore perpendicolare al piano stesso (dato il piano $ax+by+cz+d=0$ il vettore direzionale è (a, b, c)). Pertanto una retta $r$ è parallela al piano $\alpha$ se $\vecr bot \vec\alpha$, cioè se il loro prodotto scalare è zero (come nel tuo caso). Altrimenti sono incidenti e, in particolare, perpendicolari se $\vecr$ ed $\vec \alpha$ sono proporzionali.
mmm ma in A^3 non ha senso parlare di perpendicolarità e angoli o sbaglio?
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