Posizione reciproca tra piano e retta

[ryoga_ag]

Un esercizio mi chiede di studiare la posizione reciprocra della retta

\( r:\begin{cases} \lambda x +y -z =0 \\ y + \lambda z+1 = 0 \end{cases} \)

e del piano

\( \pi : 3x-y-7z-4=0 \)

Io so che prendendo le due matrici A e (A|b)

\( (A) : \begin{pmatrix} 3 & -1 & -7 \\ \lambda & 1 & -1 \\ 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix} \)

\( (A|b) : \begin{pmatrix} 3 & -1 & -7 & -4 \\ \lambda & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix} \)

abbiamo che
se rango di A = rango di (A|b) = 3 , retta e piano sono incidenti
se rango di A = rango di (A|b) = 2 , la retta giace sul piano
se rango di A è diverso dal rango di (A|b) allora sono paralleli

Per calcolare il rango uso gauss e conto i pivot:

\( \begin{pmatrix} 3 & -1 & -7 & -4 \\ 0 & \frac{3+\lambda}{3} & \frac{7\lambda - 3}{3} & \frac{4\lambda}{3} \\ 0 & 0 & \frac{(\lambda-1)(\lambda-3)}{\lambda +3} & \frac{3(1 -\lambda)}{\lambda + 3} \end{pmatrix} \)

e da qui mi calcolo tutti i casi al variare di \( \lambda \) o esiste un metodo più facile?

[adaBTTLS1]

io non ho più "fatto" algebra lineare, però in questo caso particolare mi viene da osservare che il secondo piano che individua la retta non "contiene" la x, quindi la retta $r$ appartiene ad un piano parallelo ad yz, mentre il piano $pi$ non è parallelo ad yz.
Se devi concludere solo se $r$ e $pi$ sono incidenti, ...