Posizione reciproca rette nello spazio $E^3$ al variare del parametro $\alpha$

[pinguser]

Buona sera a tutti ,
vi vorrei proporre il seguente esercizio sulle rette, il testo dice:
Nello spazio euclideo $E^3$ si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino le rette r e s di equazioni:

$r : \{(x=-2t),(y=-1+7t),(z=t):} s: \{(x+y-az-1=0),((a+4)x+2y+4z=0):} $

con parametro a reale.
(i) Determinare la posizione reciproca di r e s al variare di a.
(ii) Per quali valori di a le rette date risultano ortogonali?

(i) Ora per quanto riguarda il primo punto devo esprimere la retta r in forma cartesiana quindi ottengo la seguente parametrizzazione:

$r: \{(x+2z=0),(y-7z+1=0):} $

Una volta fatto ciò considerò la seguente matrice:

$(A|B) = [ (1,0,2, |, 0),(0,1,-7, |, -1), (1,1,-a, |, 1), ((a+4),2,4, |, 0)]$
e ottengo che: il $rk(A)=3$ se $a\!= -2$ o $5$ mentre il $rk(A|B)=4 $ se $a\!=5$
Quindi a questo punto posso affermare che:
-se $a\!=-2$ o $5$ allore le rette sono sghembe;
-se $a=5$ ottengo che il $rk(A)=2$ e il $rk(B)=3$ quindi le rette sono parallele


(ii) Ora devo studiare per quali valori di a le due rette risultano ortogonali:
Due rette sono ortogonali se il prodotto scalare dei vettori direttori è nullo. Quindi ho che
$v_r$ si ottiene facilmente dato che la retta $r$ è fornita in forma parametrica ed è quindi $v_r=(-2,7,1)$ mentre per ottenere $v_s$ effettuiamo il prodotto vettoriale tra $(1,1,-a)$ e$ (a+4,2,4)$ otteniamo cosi che $v_s=(4+2a, -a^2-a4 -4, -a -2)$ effettuando i calcoli mi trovo che le due rette sono ortogonali per $a=19/7$ e $a=-2$.
Volevo sapere se il procedimento che ho applicato è corretto grazie mille