Posizione reciproca di tre piani
In un esame era presente il seguente esercizio:
Se in un sistema di 3 equazioni in 3 incognite il rango della matrice completa è 2 mentre il rango della matrice incompleta è 1, le equazioni rappresentano necessariamente
R1)Due piani incidenti in una retta ed il terzo piano interseca tale retta
R2)Nessuna delle altre risposte
R3)Due piani paralleli ed il terzo piano li interseca in una retta
R4)Due piani coincidenti ed il terzo piano ad essi parallelo
R5)Tre piani paralleli
Essendo i due ranghi diversi (il sistema non ha soluzione) mi verrebbe da dire che i piani non hanno punti in comune, ma essendo 2 il rango della matrice completa due piani si intersecano secondo una retta che sarà parallela al terzo piano (?).
Mi potreste spiegare questo esercizio ed in generale come bisogna ragionare in termini geometrici quando abbiamo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite (3 piani) ? grazie
Se in un sistema di 3 equazioni in 3 incognite il rango della matrice completa è 2 mentre il rango della matrice incompleta è 1, le equazioni rappresentano necessariamente
R1)Due piani incidenti in una retta ed il terzo piano interseca tale retta
R2)Nessuna delle altre risposte
R3)Due piani paralleli ed il terzo piano li interseca in una retta
R4)Due piani coincidenti ed il terzo piano ad essi parallelo
R5)Tre piani paralleli
Essendo i due ranghi diversi (il sistema non ha soluzione) mi verrebbe da dire che i piani non hanno punti in comune, ma essendo 2 il rango della matrice completa due piani si intersecano secondo una retta che sarà parallela al terzo piano (?).
Mi potreste spiegare questo esercizio ed in generale come bisogna ragionare in termini geometrici quando abbiamo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite (3 piani) ? grazie
Risposte
Un esempio di tale sistema è questo.
$((1,2,3),(1,2,3),(1,2,3))$ $((x),(y),(z))$ $=((3),(3),(4))$
A me sembrano due piani coincidenti e un terzo parallelo.
$((1,2,3),(1,2,3),(1,2,3))$ $((x),(y),(z))$ $=((3),(3),(4))$
A me sembrano due piani coincidenti e un terzo parallelo.
Si, grazie mille. Quindi quando ho un sistema di n equazioni in 3 incognite se il sistema non ha soluzione cosa posso affermare? Solo che i piani sono paralleli tra loro ( o come in questo caso coincidenti ) ?
Un sistema di n equazioni ammetta una soluzione se c'è un punto che è comune a tutti i piani.
Ma anche se non c'è soluzione, ogni piano può benissimo intersecarsi con un altro piano.
Immagina un sistema 3 eq. 3 in., in cui i 3 piani sono verticali e guardandoli dall'alto sono disposti "a triangolo".
Il sistema non ha soluzione perchè non esiste un punto comune a tutti e 3 i piani, ma ogni piano interseca gli altri due.
Ma anche se non c'è soluzione, ogni piano può benissimo intersecarsi con un altro piano.
Immagina un sistema 3 eq. 3 in., in cui i 3 piani sono verticali e guardandoli dall'alto sono disposti "a triangolo".
Il sistema non ha soluzione perchè non esiste un punto comune a tutti e 3 i piani, ma ogni piano interseca gli altri due.
Sei stato molto utile, grazie.
La risposta corretta comunque era la 5) Tre piani paralleli. Il fatto che il rango della incompleta sia 1 significa che le tre normali ai piani sono parallele e quindi ti si propongono 3 casi: tre piani paralleli, due piani coincidenti e il terzo parallelo ad essi, tre piani coincidenti. Tale sistema ammette soluzione sse sono coincidenti, ma essendo il rango della completa 2 sai che o sono tutti e tre paralleli o sono due coincidenti ed il terzo parallelo ad essi; il fatto che siano tutti e tre paralleli comprende anche l'altro caso quindi la risposta è la 5).
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