Posizione reciproca di due rette
Ciao a tutti! Volevo chiedere aiuto per la riduzione a scala della matrice 4x4:
$ {:| ( 2 , b+2 , b-2 , 4 ),( 0 , b , 4 , 21 ),( 1 , 1 , -2 , 2 ),( 1 , 3 , 2 , 2 ) |:} $
che si ottiene mettendo a sistema le rette:
$ r:{ ( 2x+(b+2)y+(b-2)z=4 ),( by+4z=21 ):} $
$ s:{ ( x+y-2z=2 ),( x+3y+2z=2 ):} $
in modo da ricavarne la posizione reciproca al variare di $binR$
Giuro che dopo un'ora di tentativi non ne vengo fuori...
Il fatto è che deve esserci un modo "meccanico" di procedere, seguendo il quale, salvo errori di distrazione, si pervenga al corretto risultato.
Io in genere faccio in modo di annullare prima tutti i termini sotto il primo pivot, poi tutti quelli sotto il secondo, ecc. ma questa volta non sembra funzionare perchè ottengo la matrice:
$ | ( 2 , b+2 , b-2 , 4 ),( 0 , b , 4 , 21 ),( 0 , 0 , -3/4b^2 , 21 ),( 0 , 0 , b^2-7b+8 , 0 ) | $
che non è a scala e non sembra portare da nessuna parte...
Vi ringrazio.
$ {:| ( 2 , b+2 , b-2 , 4 ),( 0 , b , 4 , 21 ),( 1 , 1 , -2 , 2 ),( 1 , 3 , 2 , 2 ) |:} $
che si ottiene mettendo a sistema le rette:
$ r:{ ( 2x+(b+2)y+(b-2)z=4 ),( by+4z=21 ):} $
$ s:{ ( x+y-2z=2 ),( x+3y+2z=2 ):} $
in modo da ricavarne la posizione reciproca al variare di $binR$
Giuro che dopo un'ora di tentativi non ne vengo fuori...
Il fatto è che deve esserci un modo "meccanico" di procedere, seguendo il quale, salvo errori di distrazione, si pervenga al corretto risultato.
Io in genere faccio in modo di annullare prima tutti i termini sotto il primo pivot, poi tutti quelli sotto il secondo, ecc. ma questa volta non sembra funzionare perchè ottengo la matrice:
$ | ( 2 , b+2 , b-2 , 4 ),( 0 , b , 4 , 21 ),( 0 , 0 , -3/4b^2 , 21 ),( 0 , 0 , b^2-7b+8 , 0 ) | $
che non è a scala e non sembra portare da nessuna parte...
Vi ringrazio.
Risposte
il metodo proposto da @kobeilprofeta è senz'altro migliore di quello da te definito meccanico.
Tuttavia, nel tuo caso si tratta di determinare il numero di soluzioni al variare del parametro. Si dice anche "interpretazione geometrica del th. di Rouché -Capelli". Le soluzioni non sono altro che le equazioni parametriche delle sottovarietà lineari che si generano.
Per esempio, se il rango di una matrice quadrata è massimo, allora si avrà una e una sola soluzione (che nel caso di due rette sarà essere un punto).
Se il rango di $rkA|b >rkA$, allora avrai $\infty^{n-rank}$ soluzioni. Nota che il termine $n-rank$ è proprio la dimensione della sottovarietà lineare generata ! (nel caso del punto, il rango è massimo)
Se invece $rkA|b
Tuttavia, nel tuo caso si tratta di determinare il numero di soluzioni al variare del parametro. Si dice anche "interpretazione geometrica del th. di Rouché -Capelli". Le soluzioni non sono altro che le equazioni parametriche delle sottovarietà lineari che si generano.
Per esempio, se il rango di una matrice quadrata è massimo, allora si avrà una e una sola soluzione (che nel caso di due rette sarà essere un punto).
Se il rango di $rkA|b >rkA$, allora avrai $\infty^{n-rank}$ soluzioni. Nota che il termine $n-rank$ è proprio la dimensione della sottovarietà lineare generata ! (nel caso del punto, il rango è massimo)
Se invece $rkA|b
