Politopi e Poliedri
Ciao a tutti,
dovrei dimostrare che:
"Un poliedro $P\subset \mathbb{R}^n$ è un politopo se e solo se $P$ è limitato"
Utilizzo come definizioni le seguenti:
Un Poliedro è un sottoinsieme $P\subset \mathbb{R}^n$ della forma $P=P(A,b)=\{x|Ax<=b\}$, con $A\in \mathbb{R}^{m x n},b\in\mathbb{R}^m$
Un Politopo è l'inviluppo convesso di un insieme finito di punti.
Adesso vi dico cosa pensavo di fare per dimostrare la affermazione che ho scritto sopra. Pensavo che potrebbe essermi d'aiuto il teorema di Minkowski, che mi dice che, dato un poliedro $P=P(A,b)=\{x|Ax<=b\}$, esistono $B,C$ tali che $P=conv(B)+con e(C)$. Adesso, se $P$ è un politopo, ho $P=conv(B)$ e $con e(C)=\emptyset$, e $conv(B)$ è limitato in quanto $B$ in questo caso è un insieme finito di punti, quindi ho che $P$ è un poliedro limitato, giusto?
Ora se invece $P$ è un poliedro limitato, a livello intuitivo mi verrebbe da pensare che $con e(C)$ debba essere vuoto, ma è così?
dovrei dimostrare che:
"Un poliedro $P\subset \mathbb{R}^n$ è un politopo se e solo se $P$ è limitato"
Utilizzo come definizioni le seguenti:
Un Poliedro è un sottoinsieme $P\subset \mathbb{R}^n$ della forma $P=P(A,b)=\{x|Ax<=b\}$, con $A\in \mathbb{R}^{m x n},b\in\mathbb{R}^m$
Un Politopo è l'inviluppo convesso di un insieme finito di punti.
Adesso vi dico cosa pensavo di fare per dimostrare la affermazione che ho scritto sopra. Pensavo che potrebbe essermi d'aiuto il teorema di Minkowski, che mi dice che, dato un poliedro $P=P(A,b)=\{x|Ax<=b\}$, esistono $B,C$ tali che $P=conv(B)+con e(C)$. Adesso, se $P$ è un politopo, ho $P=conv(B)$ e $con e(C)=\emptyset$, e $conv(B)$ è limitato in quanto $B$ in questo caso è un insieme finito di punti, quindi ho che $P$ è un poliedro limitato, giusto?
Ora se invece $P$ è un poliedro limitato, a livello intuitivo mi verrebbe da pensare che $con e(C)$ debba essere vuoto, ma è così?
Risposte
"Raphael":
teorema di Minkowski
...
Adesso, se $P$ è un politopo, ho $P=conv(B)$ e $con e(C)=\emptyset$, e $conv(B)$ è limitato in quanto $B$ in questo caso è un insieme finito di punti, quindi ho che $P$ è un poliedro limitato, giusto?
Ora se invece $P$ è un poliedro limitato, a livello intuitivo mi verrebbe da pensare che $con e(C)$ debba essere vuoto, ma è così?
Io sono abituato a chiamarlo teorema di Motzkin
Quanto al sugo, direi che ci sei.
Se $con e(C)!=\emptyset$, ci sta un qualche $y$ e quindi tutti i $ty$, con $t \ge 0$. Pertanto non può essere limitato.
Grazie per la risposta! Ho però una domanda, ieri ci ho riflettuto ancora e quello che mi sfugge è che se $con e(C)=\{0\}$ il poliedro è limitato, giusto? quindi non capisco più se la dimostrazione va bene o no!
Scusa, hai ragione, va condizione è che sia uguale a ${0}$, non all'insieme vuoto! Io stavo pensando ai generatori del cono poliedrale, che è l'insieme vuoto (un po' come succede per gli spazi vettoriali: lo spazio vettoriale che contiene solo ${0}$ ha come base l'insieme vuoto, ed in effetti ha dim 0).
grazie! ora ho capito!
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