Polinomio minimo in Jordan ?
Ho queta matrice che ho ridtto in forma di Jordan
${(((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,0)))}$
Il polinomio minimo a me torna
(t-2)(t-2)(t-2)(t-0) puo andare?
${(((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,0)))}$
Il polinomio minimo a me torna
(t-2)(t-2)(t-2)(t-0) puo andare?
Risposte
Ovviamente. Quando la matrice è forma di Jordan, trovare il polinomio minimo è facilissimo.
Chi è il polinomio minimo di
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
?
Chi è il polinomio minimo di
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
?
Son stato fortunato poiche qui avevo blocchi di grado massimo 1. Ma non mi torna come trovare il grado dei singoli blocchi
Ecco, bravo che hai scritto questo commento! Avevo letto la tua matrice come se fosse
[tex]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
La tua risposta, [tex]t(t-2)^3[/tex] è giusta per questa matrice, mentre per la matrice che hai scritto tu il polinomio minimo è [tex]t(t-2)[/tex].
Vediamo, qual è la definizione di polinomio minimo?
[tex]\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
La tua risposta, [tex]t(t-2)^3[/tex] è giusta per questa matrice, mentre per la matrice che hai scritto tu il polinomio minimo è [tex]t(t-2)[/tex].
Vediamo, qual è la definizione di polinomio minimo?
é il polinomio di grado minimo che annulla la matrice ?!?
nela mia è $t(t-2)$ poche sarebbe $(t-0)(t-2)$ ?
nela mia è $t(t-2)$ poche sarebbe $(t-0)(t-2)$ ?
Potresti però scrivere in italiano corretto? "poche" cosa vorrebbe dire?
Sì, è il polinomio di grado minimo che annulla la matrice. Sei d'accordo che la matrice che hai scritto tu è annullata da [tex]t(t-2)[/tex]?
Prima di andare avanti rispondi ad una domanda: a che facoltà sei iscritto? Perché così posso regolarmi: non ha senso che mi metta a parlare degli autospazi generalizzati se non fai matematica (almeno credo!).
Sì, è il polinomio di grado minimo che annulla la matrice. Sei d'accordo che la matrice che hai scritto tu è annullata da [tex]t(t-2)[/tex]?
Prima di andare avanti rispondi ad una domanda: a che facoltà sei iscritto? Perché così posso regolarmi: non ha senso che mi metta a parlare degli autospazi generalizzati se non fai matematica (almeno credo!).
Scusami sono semplici errori di battitura. Si infatti 
Ti sarei grato se tu potessi semplificarmela il piu possibile visto che studio ingegneria... Con "poche" intendevo "poiche".
Ti sarei grato se tu potessi semplificarmela il piu possibile visto che studio ingegneria... Con "poche" intendevo "poiche".
Ok, allora l'algoritmo è semplicissimo e la dimostrazione lo è altrettanto, se ci pensi. Supponi di avere una matrice già ridotta in forma di Jordan. Fissiamo l'attenzione su un autovalore [tex]\lambda[/tex]. Supponiamo che ci siano [tex]r_\lambda[/tex] blocchi di Jordan relativi a [tex]\lambda[/tex], [tex]J_1, \ldots, J_r[/tex]. Allora, per determinare la potenza del fattore [tex]\lambda[/tex] nel polinomio minimo, ti basterà prendere la massima lunghezza dei blocchi relativi a [tex]\lambda[/tex], ossia [tex]\max \mathcal l(J_i)[/tex].
Ad esempio, nella matrice che hai scritto tu, ci sono 3 blocchi relativi a 2 ed un blocco relativo a 0. Per determinare il grado del fattore [tex](t-2)[/tex], prendiamo i tre blocchi relativi a [tex]1[/tex]. Sono tutti di lunghezza uno, quindi il massimo sarà 1 e pertanto [tex]t-2[/tex] compare alla prima potenza. Lo stesso per [tex]t[/tex].
Nella matrice che avevo capito io, ci sono un blocco relativo a [tex]2[/tex] ed un blocco relativo a 0; quello relativo a 2 è di lunghezza 3, l'altro di lunghezza 1. Quindi il polinomio minimo sarà [tex]t(t-2)^3[/tex].
Nella matrice che avevo scritto nel mio primo post, ci sono due blocchi relativi a 1, uno di lunghezza 3 e l'altro di lunghezza 2. Siccome 3 è la lunghezza massima, il polinomio minimo sarà [tex](t-1)^3[/tex].
Osserva, però, che per applicare questo algoritmo la matrice deve essere già ridotta in forma di Jordan. E per ricavare la forma di Jordan, di fatto, devi calcolare il polinomio minimo (le operazioni che fai per costruire la matrice di Jordan ti consentono di ricavare subito il polinomio minimo: infatti, la matrice di Jordan codifica tutte le informazioni che ricavi dallo studio della matrice).
Ad esempio, nella matrice che hai scritto tu, ci sono 3 blocchi relativi a 2 ed un blocco relativo a 0. Per determinare il grado del fattore [tex](t-2)[/tex], prendiamo i tre blocchi relativi a [tex]1[/tex]. Sono tutti di lunghezza uno, quindi il massimo sarà 1 e pertanto [tex]t-2[/tex] compare alla prima potenza. Lo stesso per [tex]t[/tex].
Nella matrice che avevo capito io, ci sono un blocco relativo a [tex]2[/tex] ed un blocco relativo a 0; quello relativo a 2 è di lunghezza 3, l'altro di lunghezza 1. Quindi il polinomio minimo sarà [tex]t(t-2)^3[/tex].
Nella matrice che avevo scritto nel mio primo post, ci sono due blocchi relativi a 1, uno di lunghezza 3 e l'altro di lunghezza 2. Siccome 3 è la lunghezza massima, il polinomio minimo sarà [tex](t-1)^3[/tex].
Osserva, però, che per applicare questo algoritmo la matrice deve essere già ridotta in forma di Jordan. E per ricavare la forma di Jordan, di fatto, devi calcolare il polinomio minimo (le operazioni che fai per costruire la matrice di Jordan ti consentono di ricavare subito il polinomio minimo: infatti, la matrice di Jordan codifica tutte le informazioni che ricavi dallo studio della matrice).
Grazie, ma non capisco una cosa:
nella matrice seguente:
$((2,1,0,0),(0,2,1,0),(0,0,2,0),(0,0,0,0))$
Come gestisco quegli 1 che non sono sulla diagonale? Cioè, io ho 2 blocchi uno riferito a $2$ e uno riferito a $0$. Il primo ha lunghezza $3$ il secondo ha lunghezza $1 $?
nella matrice seguente:
$((2,1,0,0),(0,2,1,0),(0,0,2,0),(0,0,0,0))$
Come gestisco quegli 1 che non sono sulla diagonale? Cioè, io ho 2 blocchi uno riferito a $2$ e uno riferito a $0$. Il primo ha lunghezza $3$ il secondo ha lunghezza $1 $?
Ho capito. Se ho una matrice (nxn) con elementi diversi da $0$ solo sulla diagonale allora avrò n blocchi.
Se invece non sono nel caso precedente ho sicuramente nblocchi$!=$n.
Se invece non sono nel caso precedente ho sicuramente nblocchi$!=$n.
E se io avessi:
$((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,0),(0,0,0,0))$
Il polinomio minimo sarebbe: $(t-1)(t-0)(t-1)^2$
$((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,0),(0,0,0,0))$
Il polinomio minimo sarebbe: $(t-1)(t-0)(t-1)^2$
Sì.
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