Polinomio minimo
Ciao a tutti...sto preparando degli esercizi di approfondimenti di algebra e mi trovo a risolvere le forme canoniche di Jordan.
In presenza di questa matrice:
A=$((3,4,4),(-3,-6,-8),(3,7,9))$
Inanzitutto ho calcolato il polinomio caratteristico calcolando il determinante della matrice A-$lambda$I e risulta:
det(A-$lambda$I)= ($lambda$-3)($lambda$-2)($lambda$-1)
e ho ottenuto cosi 3 autovalori distinti risalendo così alla forma canonica di Jordan :
J=$((1,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$
Io vorrei chiedere come si calcola il polinomio minimo della matrice di partenza A.
Grazie a tutti in anticipo per la disponibilità.
In presenza di questa matrice:
A=$((3,4,4),(-3,-6,-8),(3,7,9))$
Inanzitutto ho calcolato il polinomio caratteristico calcolando il determinante della matrice A-$lambda$I e risulta:
det(A-$lambda$I)= ($lambda$-3)($lambda$-2)($lambda$-1)
e ho ottenuto cosi 3 autovalori distinti risalendo così alla forma canonica di Jordan :
J=$((1,0,0),(0,2,0),(0,0,3))$
Io vorrei chiedere come si calcola il polinomio minimo della matrice di partenza A.
Grazie a tutti in anticipo per la disponibilità.
Risposte
Il polinomio minimo, in questo caso, lo hai già in mano. Ricorda questo semplice ma fondamentale risultato: la molteplicità della radice [tex]x_0[/tex] del polinomio minimo è il massimo periodo che può avere un autovettore generalizzato relativo all'autovalore [tex]x_0[/tex].
Hai capito?
P.S. Nota che, se la matrice è diagonalizzabile, allora tutti gli autovettori generalizzati sono autovettori standard e, di conseguenza, hanno periodo 1. Quindi, in tal caso, il polinomio minimo è prodotto di fattori lineari (e ovviamente vale anche il viceversa).
Ad esempio, qual è il polinomio minimo di [tex]\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]?
Hai capito?
P.S. Nota che, se la matrice è diagonalizzabile, allora tutti gli autovettori generalizzati sono autovettori standard e, di conseguenza, hanno periodo 1. Quindi, in tal caso, il polinomio minimo è prodotto di fattori lineari (e ovviamente vale anche il viceversa).
Ad esempio, qual è il polinomio minimo di [tex]\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/tex]?
Il polinomio minimo è : ($lambda$-2)($lambda$-1)???
Però non ho ben capito la spiegazione che mi hai dato. Grazie mille per la risposta.
Però non ho ben capito la spiegazione che mi hai dato. Grazie mille per la risposta.
[mod="Martino"]Ciao gloria, ti chiederei di mettere il titolo in minuscolo, come da regolamento. Grazie.[/mod]
Il polinomio minimo è proprio quello che hai indicato.
Potresti essere più chiara riguardo alla parte della mia risposta che non ti è chiara?
Ad esempio, sei familiare con i concetti di autovettori generalizzati?
Potresti essere più chiara riguardo alla parte della mia risposta che non ti è chiara?
Ad esempio, sei familiare con i concetti di autovettori generalizzati?
Ok, riguardando le definizioni di autovettori e le varie molteplicità ora ho capito...Si, con quelle definizioni sono abbastanza familiare perchè gli ho affrontati in diverse materie!!!!Ti ringrazio davvero tanto!!!!
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