Polinomio minimo
Sto cercando informazioni su metodi per ricavare il polinomio minimo di un'applicazione lineare, sia in R che in C. Qualcuno sa darmi qualche link? Su Wikipedia non ho trovato nulla di specifico.
Grazie mille.
Prendo l'occasione per salutare tutti. Sono nuovo del forum.
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Risposte
Io lo so fare solo per endomorfismi.... ed è un metodo abbastanza standard: l'esponente di (x-s) nel polinomio minimo è il minimo intero c tale che $\ker (A-s)^c$ abbia per dimensione la molteplicità di s nel caratteristico....
"pic":
Io lo so fare solo per endomorfismi.... ed è un metodo abbastanza standard: l'esponente di (x-s) nel polinomio minimo è il minimo intero c tale che $\ker (A-s)^c$ abbia per dimensione la molteplicità di s nel caratteristico....
Parlando del polinomio minimo (o caratteristico) di un'applicazione lineare, si sottointende che si sta lavorando con un endomorfismo... Infatti non è possibile parlare di autovalori (zeri dei suddetti polinomi) ed autovettori se dominio e codominio non coincidono...
Ma bisogna per forza mettere le faccine per evidenziare l'ironia?
"pic":
Ma bisogna per forza mettere le faccine per evidenziare l'ironia?
Certo, sono necessarie da regolamento.
Mi segno il tuo metodo, ma intanto (ci sono stato dietro tutto il giorno...) ho trovato un altro interessante metodo: si costruisce la forma canonica di Jordan della matrice, e ala fine l'esponente di (x - s) è uguale all'ordine del blocco di Jordan più grande che riguarda quell'autovalore. Il problema è che a volte per costruire la forma canonica di Jordan, in caso di ambiguità, bisogna prima ricavare il polinomio minimo della matrice... In questo caso si torna al tuo metodo.
Un metodo per calcolare il polinomio minimo di un endomorfismo è questo:
sia $V$ un uno spazio vettoriale sul campo $K$ di dimensione $n$ e sia $f$ un endomorfismo di $V$. Fisso una base di $V$
Tramite l'identificazione tra $V$ e $K^n$ posso pensare $f$ come una matrice $n \times n$ a coefficienti in $K$.
Quindi trovare il polinomio minimo di $f$ equivale a trovare il polinomio minimo della matrice associata $A$.
Sia $i$ un numero naturale compreso tra $1$ e $n$. Voglio costruire un polinomio $m_i(x)$
Sia $e_1$ il vettore di $K^n$ che ha tutti $0$ come componenti escluso un $1$ nel posto i-esimo.
Se i vettori $A e_i$ e $e_1$ sono linearmente dipendenti allora siano $c_1,c_0 \in K$ non entrambi nulli tali che $c_1Ae_i + c_0e_1 = 0$; allora pongo $m_i(x)=c_1x+c_0$.
Se invece sono indipendenti allora considero i vettori $A^2e_1$ $Ae_1$ $e_1$; se questi sono dipendenti, siano $c_2,c_1,c_0$ i coefficienti di una loro combinazione lineare non banale, allora pongo $m_i(x)=c_2x^2 + c_1x + c_0$.
Se invece i tre vettori sono linearmente indipendenti considero anche il vettore $A^3e_1$ e vado avanti.
Prima o poi mi fermo perché $A^n e_i,...,A^2e_i,Ae_i,e_i$ sono dipendenti dato che sono $n+1$ elementi in uno spazio di dimensione $n$.
Quindi per ogni $i$ da $1$ a $n$, abbiamo costruito il polinomio $m_i(x)$.
Allora il polinomio minimo di $A$ è il minimo comune multiplo dei polinomi $m_1(x),...,m_n(x)$.
sia $V$ un uno spazio vettoriale sul campo $K$ di dimensione $n$ e sia $f$ un endomorfismo di $V$. Fisso una base di $V$
Tramite l'identificazione tra $V$ e $K^n$ posso pensare $f$ come una matrice $n \times n$ a coefficienti in $K$.
Quindi trovare il polinomio minimo di $f$ equivale a trovare il polinomio minimo della matrice associata $A$.
Sia $i$ un numero naturale compreso tra $1$ e $n$. Voglio costruire un polinomio $m_i(x)$
Sia $e_1$ il vettore di $K^n$ che ha tutti $0$ come componenti escluso un $1$ nel posto i-esimo.
Se i vettori $A e_i$ e $e_1$ sono linearmente dipendenti allora siano $c_1,c_0 \in K$ non entrambi nulli tali che $c_1Ae_i + c_0e_1 = 0$; allora pongo $m_i(x)=c_1x+c_0$.
Se invece sono indipendenti allora considero i vettori $A^2e_1$ $Ae_1$ $e_1$; se questi sono dipendenti, siano $c_2,c_1,c_0$ i coefficienti di una loro combinazione lineare non banale, allora pongo $m_i(x)=c_2x^2 + c_1x + c_0$.
Se invece i tre vettori sono linearmente indipendenti considero anche il vettore $A^3e_1$ e vado avanti.
Prima o poi mi fermo perché $A^n e_i,...,A^2e_i,Ae_i,e_i$ sono dipendenti dato che sono $n+1$ elementi in uno spazio di dimensione $n$.
Quindi per ogni $i$ da $1$ a $n$, abbiamo costruito il polinomio $m_i(x)$.
Allora il polinomio minimo di $A$ è il minimo comune multiplo dei polinomi $m_1(x),...,m_n(x)$.
Comunque per calcolare la forma canonica di Jordan non serve conoscere il polinomio minimo, ma soltanto sapere quali sono gli autovalori. Ad ogni modo, il calcolo del polinomio minimo a partire dalla forma di Jordan è lungo perchè è lungo costruire la forma di Jordan; mentre il mio metodo è molto più veloce!
"pic":
Ma bisogna per forza mettere le faccine per evidenziare l'ironia?
Direi di si, visto che capita spesso di parlare con persone che possono fraintendere...
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