Polinomio caratteristico (tragico)
2. Si considerino le matrici di $M_3(RR)$
$((-3,4,0),(0,5,0),(0,4,-3))$ e S=$((1,0,2a),(0,-3,0),(2a,0,1))$
a) Si dica se A e S sono diagonalizzabili; si calcolino gli autospazi delle due matrici.
b) Si dica per quali valori del parametro a le matrici A e S sono simili e si determini,
in corrispondenza ad uno di essi, una matrice invertibile H tale che $H^(-1)AH =S$
c) Si classi chi, per ogni valore di a, la forma quadratica F su $RR3$ de nita da:
$F(x; y; z) = ( x y z ) S$ $((x),(y),(z))$ precisando se e de nita positiva, inde nita, ecc.
d) Si dica se per ogni valore del parametro a esistono terne non nulle (xo; yo; zo)
tali che F(xo; yo; zo) = 0.
.......................................................................................
autospazi di A sono facili e ottengo $V_(-3)=<(1,0,0)(0,0,1)>$ $V_5=<(1,2,1)>$
ma per quelli di S (premetto che non sono bravo con algebra..)
ottengo un eq. di terzo grado in landa
$(-3-\lambda)[(1-\lambda)^2-4a^2]$
$=-\lambda^3-\lambda^2+(5+4a^2)\lambda-3+12a^2$
pensavo di usare la regola di Ruffini... ma sono in difficoltà avendo quel tipo di termine noto
cosa devo fare? 
grazie!
$((-3,4,0),(0,5,0),(0,4,-3))$ e S=$((1,0,2a),(0,-3,0),(2a,0,1))$
a) Si dica se A e S sono diagonalizzabili; si calcolino gli autospazi delle due matrici.
b) Si dica per quali valori del parametro a le matrici A e S sono simili e si determini,
in corrispondenza ad uno di essi, una matrice invertibile H tale che $H^(-1)AH =S$
c) Si classi chi, per ogni valore di a, la forma quadratica F su $RR3$ de nita da:
$F(x; y; z) = ( x y z ) S$ $((x),(y),(z))$ precisando se e de nita positiva, inde nita, ecc.
d) Si dica se per ogni valore del parametro a esistono terne non nulle (xo; yo; zo)
tali che F(xo; yo; zo) = 0.
.......................................................................................
autospazi di A sono facili e ottengo $V_(-3)=<(1,0,0)(0,0,1)>$ $V_5=<(1,2,1)>$
ma per quelli di S (premetto che non sono bravo con algebra..)
ottengo un eq. di terzo grado in landa
$(-3-\lambda)[(1-\lambda)^2-4a^2]$
$=-\lambda^3-\lambda^2+(5+4a^2)\lambda-3+12a^2$
pensavo di usare la regola di Ruffini... ma sono in difficoltà avendo quel tipo di termine noto
cosa devo fare? grazie!
Risposte
Per un fatto di semplicità io cambiato un pochino i segni, mettendo in evidenza un meno da $(-3-x)$ e portandolo dentro.
Arrivato qui $(3+x)[4a^2-(1-x)^2]$ pongo $(3+x)=0$ e ottieni il primo autovalore, poi poni $[4a^2-(1-x)^2]=0$ e trovi il secondo. Se fai attenzione ai calcoli nella seconda equazione dovresti riuscire ad esprimere il secondo autovalore in funzione di a, scrivendo $[4a^2-(1-x)^2] => [2a-(1-x)][2a+(1-x)]$.
Spero di essere stato utile.
Arrivato qui $(3+x)[4a^2-(1-x)^2]$ pongo $(3+x)=0$ e ottieni il primo autovalore, poi poni $[4a^2-(1-x)^2]=0$ e trovi il secondo. Se fai attenzione ai calcoli nella seconda equazione dovresti riuscire ad esprimere il secondo autovalore in funzione di a, scrivendo $[4a^2-(1-x)^2] => [2a-(1-x)][2a+(1-x)]$.
Spero di essere stato utile.
certo che mi sei stato utile! Graziee!!!!
io ce stavo impazzendo a capire i divisori del termine noto per Ruffini.
bastava avere un po' di osservazione!
ho calcolato gli autovalori $\lambda_1=-3$ $\lambda_2=2a+1$ $\lambda_3=-2a+1$
calcolando gli autovettori mi trovo davanti a $\{(x=-1/2ax),((-a^2+4)z=0):}$ l'autospazio è
$ <(-1/2a,0,0)>$ ? come mi comporto? dico che per a $!=$da +-2 z=0?
se martedì mi capita 3 esercizi di questo tipo.. sono finito...
io ce stavo impazzendo a capire i divisori del termine noto per Ruffini.
bastava avere un po' di osservazione!
ho calcolato gli autovalori $\lambda_1=-3$ $\lambda_2=2a+1$ $\lambda_3=-2a+1$
calcolando gli autovettori mi trovo davanti a $\{(x=-1/2ax),((-a^2+4)z=0):}$ l'autospazio è
$ <(-1/2a,0,0)>$ ? come mi comporto? dico che per a $!=$da +-2 z=0?
se martedì mi capita 3 esercizi di questo tipo.. sono finito...
io mi andrei a studiare la matrice sostituendo volta per volta i vari autovalori. Ad esempio se studiamo l'autospazio relativo all'autovalore $-3$ otteniamo il sistema che tu hai descritto. Essenzialmente noi di base dovremm supporre $a!=+2,-2$ altrimenti non avrebbe senso studiare le soluzioni. Quindi concentriamoci sulle incognite. Cioè $x=(-1/2)az, z=0 => x=0, z=0$ quindi l'insieme delle soluzioni sarà del tipo ${(0,y,0): y in RR} => a(f,-3)=[(0,1,0)]$ cioè l'autospazio relativo all'autovalore $-3$ è $[(0,1,0)]$
"Lorin":
io mi andrei a studiare la matrice sostituendo volta per volta i vari autovalori. Ad esempio se studiamo l'autospazio relativo all'autovalore $-3$ otteniamo il sistema che tu hai descritto. Essenzialmente noi di base dovremm supporre $a!=+2,-2$ altrimenti non avrebbe senso studiare le soluzioni. Quindi concentriamoci sulle incognite. Cioè $x=(-1/2)az, z=0 => x=0, z=0$ quindi l'insieme delle soluzioni sarà del tipo ${(0,y,0): y in RR} => a(f,-3)=[(0,1,0)]$ cioè l'autospazio relativo all'autovalore $-3$ è $[(0,1,0)]$
parole sante! se solo avessi di più questa vostra filosofia/spirito di valutazione matematico non mi bloccherei ogni qualvolta che mi trovo in una situazione non consueta e bisogna fare una scelta ragionevole per continuare..
ora continuo con il resto dell'esercizio se ho problemi rompo ancora
grazie Lorin!!
Ma non ti preoccupare. Anche io un annetto fa mi bloccavo spesso sugli esercizi, ma ci ho sbattuto su, giorni interi a provare e riprovare e giorno dopo giorno ho imparato a guardare l'esercizio, il teorema, la semplice spiegazione, non solo dal punto di vista del "si devo fare questo passaggio per ottenere questo, si devo sommare qui per fare questo", ma da un punto di vista più funzionale, facendomi prima un idea generale sul cosa applicare e perchè, e poi svolgendo l'esericizio. Dai non abbatterti, mantieni costante il tuo allenamento e vedrai che andrai bene
"Lorin":
Ma non ti preoccupare. Anche io un annetto fa mi bloccavo spesso sugli esercizi, ma ci ho sbattuto su, giorni interi a provare e riprovare e giorno dopo giorno ho imparato a guardare l'esercizio, il teorema, la semplice spiegazione, non solo dal punto di vista del "si devo fare questo passaggio per ottenere questo, si devo sommare qui per fare questo", ma da un punto di vista più funzionale, facendomi prima un idea generale sul cosa applicare e perchè, e poi svolgendo l'esericizio. Dai non abbatterti, mantieni costante il tuo allenamento e vedrai che andrai bene
Davvero ben detto!
$V_-3=<(0,1,0)>$
$V_(2a+1)=<(1,0,1)>$
$V_(-2a+1)=<(1,0,-1)>$
questi sono autospazi richiesti, e ho risposto studiando il segno degli autovalori.
$a<-1/2$ e $a>1/2$ def.negativa
$a=-1/2$ e $a<=1/2$ (o viceversa) semi definita negativa
$a> -1/2$ oppure $a<1/2$ indefinita
avete qualche idea per il punto b) e d?
$V_(2a+1)=<(1,0,1)>$
$V_(-2a+1)=<(1,0,-1)>$
questi sono autospazi richiesti, e ho risposto studiando il segno degli autovalori.
$a<-1/2$ e $a>1/2$ def.negativa
$a=-1/2$ e $a<=1/2$ (o viceversa) semi definita negativa
$a> -1/2$ oppure $a<1/2$ indefinita
avete qualche idea per il punto b) e d?
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