Polinomio caratteristico e Determinante
Il 22 ho l'esame di Matematica Discreta sulla seconda parte e ho più dubbi che certezze 
Mi date na mano vero? 
Allora sto facendo questo esercizio:
Si consideri la matrice 4x4 dipendente dal parametro $t in RR$:
$M_t=((t,0,0,0),(0,t^2,t+1,0),(0,0,t^2,0),(t+1,0,0,t))$
sia $LM_t: RR^4: rarr RR^4$ l'endomorfismo lineare associato a tale matrice rispetto alla base canonica di $RR^4$.
Il professore all'inizio calcola il polinomio caratteristico e il determinante. E fino a qua riesco e trovo:
$pM_t(\lambda)=(t-\lambda)^2(t^2-\lambda)^2$
e quindi il determinante è: $det(M_t)=t^6$.
Lui ora dice:
"il determinante è uguale a 0 se e solo se $t!=0$ e che ha due autovalori di molteplicità algebrica 2 se e solo se $t!=0$ e $t!=1$ mentre se $t=0$ oppure $t=1$ $M_t$ ha un solo autovalore di molteplicità algebrica 4."
Non capisco perchè dice che il determinante è uguale a 0 se e solo se t è diverso da 0. E stessa cosa per gli autovalori.
Qualcuno può spiegarmi il motivo?
Grazie
Mi date na mano vero? Allora sto facendo questo esercizio:
Si consideri la matrice 4x4 dipendente dal parametro $t in RR$:
$M_t=((t,0,0,0),(0,t^2,t+1,0),(0,0,t^2,0),(t+1,0,0,t))$
sia $LM_t: RR^4: rarr RR^4$ l'endomorfismo lineare associato a tale matrice rispetto alla base canonica di $RR^4$.
Il professore all'inizio calcola il polinomio caratteristico e il determinante. E fino a qua riesco e trovo:
$pM_t(\lambda)=(t-\lambda)^2(t^2-\lambda)^2$
e quindi il determinante è: $det(M_t)=t^6$.
Lui ora dice:
"il determinante è uguale a 0 se e solo se $t!=0$ e che ha due autovalori di molteplicità algebrica 2 se e solo se $t!=0$ e $t!=1$ mentre se $t=0$ oppure $t=1$ $M_t$ ha un solo autovalore di molteplicità algebrica 4."
Non capisco perchè dice che il determinante è uguale a 0 se e solo se t è diverso da 0. E stessa cosa per gli autovalori.
Qualcuno può spiegarmi il motivo?
Grazie
Risposte
Beh se $t=0$ il determinante è uguale a $0$ - senza calcolarlo basterebbe vedere che c'è una colonna con tutti $0$-.
Oppure basta tenere presente che il polinomio caratteristico altro non è che $det(A-lambda*I)$,
quindi per trovare $det(A)$ a partire dal polinomio caratteristico basta porre $lambda=0$
quindi per trovare $det(A)$ a partire dal polinomio caratteristico basta porre $lambda=0$
"mistake89":
Beh se $t=0$ il determinante è uguale a $0$ - senza calcolarlo basterebbe vedere che c'è una colonna con tutti $0$-.
Si ma il professore dice che il determinante è uguale a 0 solo se t è diverso da 0. E' sbagliato giusto?
Perché se t è diverso da 0 il determinante è $t^6$ quindi un valore diverso da 0. O sbaglio io?
Hai ragione tu. Non avevo letto con attenzione.
E' ovvio: $det(A)=t^6$. Quindi $det(A)!=0 <=> t!=0$
Il tuo prof avrà sbagliato a scrivere
E' ovvio: $det(A)=t^6$. Quindi $det(A)!=0 <=> t!=0$
Il tuo prof avrà sbagliato a scrivere
Quindi se $t!=0$ abbiamo il determinante non nullo e quindi 2 autovalori di molteplicità algebrica 2 (perché son al quadrato giusto?) solo se $t!=0$ e $t!=1$. Perchè "$t!=1$? Grazie degli aiuti comunque
Ci sono due autovalori, ciascuno di molteplicità algebrica 2 (sì, perchè sono al quadrato), e sono $lambda_1=t$, $lambda_2=t^2$
Problema: se $t=t^2$ (cioè se $t=0 vv t=1$) si ha $lambda_1=lambda_2$, pertanto
1) $t!=0 ^^ t!=1 => $ Due autovalori , $lambda_1=t$, $lambda_2=t^2$, entrambi di molteplicità (algebrica) $2$
2) $t=0 => $ Un solo autovalore, $lambda_1=0$ di molteplicità algebrica $4$
3) $t=1 => $ Un solo autovalore, $lambda_1=1$ di molteplicità algebrica $4$
Problema: se $t=t^2$ (cioè se $t=0 vv t=1$) si ha $lambda_1=lambda_2$, pertanto
1) $t!=0 ^^ t!=1 => $ Due autovalori , $lambda_1=t$, $lambda_2=t^2$, entrambi di molteplicità (algebrica) $2$
2) $t=0 => $ Un solo autovalore, $lambda_1=0$ di molteplicità algebrica $4$
3) $t=1 => $ Un solo autovalore, $lambda_1=1$ di molteplicità algebrica $4$
Giustissimo! Non avevo pensato di mettere $t=t^2$, ora noto anche che se mettevo $t-\lambda=0$ e $t^2-\lambda=0$ mi trovavo con $t=\lambda$ e $t^2=\lambda$ e quindi $t=t^2$.
Grazie mille
ora proseguo con l'esercizio e in caso se trovo altre difficoltà vi disturbo ancora un pò. Grazie
Grazie mille
ora proseguo con l'esercizio e in caso se trovo altre difficoltà vi disturbo ancora un pò. Grazie
[mod="Martino"]Sposto in algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Ora sto facendo l'esercizio successivo anche se non centra molto con determinante e polinomio caratteristico.. lo inserisco qua se poi è sbagliato lo posto su un altro post..
Sia $f:RR^3rarrRR^2$ un applicazione lineare tale che
$f(1,2,-1)=(-1,3)$
$f(1,1,1)=(1,-1)$
$f(0,1,-1)=(-1,2)$
$f(3,-2,1)=(1,1)$
verificare che esista una sola applicazione lineare che soddisfi tali "regole" e scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di $RR^2$ e $RR^3$.
Io ho calcolato f per la base canonica di $RR^3$ e ho trovato:
$f(1,0,0)=(0,1)$
$f(0,1,0)=(0,0)$
$f(0,0,1)=(1,-2)$
e come matrice ho
$M_f=((0,0,1),(1,0,-2))$
Ora mi chiede di calcolare nucleo e immagine, per il nucleo metto a sistema la matrice (aggiungendo x,y,z) mettendola uguale a 0 e trovo il nucleo:
$Ker(M_t)={a(0,1,0), a in RR}$ e quindi dimensione 1
l'immagine invece mettendo a sistema con (x,y,z) e uguale alla coppia (a,b) e trovo:
$\{(z=a),(x-2z=b):}$
esplicito a e b e trovo:
$\{(a=z),(b=x-2a):}$
e quindi l'immagine è uguale a $Im(M_t)={z(1,-2)+x(0,1)}$
è corretto?
Sia $f:RR^3rarrRR^2$ un applicazione lineare tale che
$f(1,2,-1)=(-1,3)$
$f(1,1,1)=(1,-1)$
$f(0,1,-1)=(-1,2)$
$f(3,-2,1)=(1,1)$
verificare che esista una sola applicazione lineare che soddisfi tali "regole" e scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di $RR^2$ e $RR^3$.
Io ho calcolato f per la base canonica di $RR^3$ e ho trovato:
$f(1,0,0)=(0,1)$
$f(0,1,0)=(0,0)$
$f(0,0,1)=(1,-2)$
e come matrice ho
$M_f=((0,0,1),(1,0,-2))$
Ora mi chiede di calcolare nucleo e immagine, per il nucleo metto a sistema la matrice (aggiungendo x,y,z) mettendola uguale a 0 e trovo il nucleo:
$Ker(M_t)={a(0,1,0), a in RR}$ e quindi dimensione 1
l'immagine invece mettendo a sistema con (x,y,z) e uguale alla coppia (a,b) e trovo:
$\{(z=a),(x-2z=b):}$
esplicito a e b e trovo:
$\{(a=z),(b=x-2a):}$
e quindi l'immagine è uguale a $Im(M_t)={z(1,-2)+x(0,1)}$
è corretto?
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