Polinomio caratteristico (dubbi a bruciapelo)

[ProPatria]

Ciao a tutti

il polinomio caratteristico di una matrice $AinM_n(F)$ lo abbiamo definito così:
$chi_A(X)=det(X*I_n-A)$

analogamente abbiamo definito il polinomio caratteristico di un endomorfismo $phiinEnd(V)$:
$chi_phi(X)=det(X*I_n-M_B(phi))$

dove $M_B(phi)$ è la matrice associata all'endomorfismo $phi$ rispetto a $B$ base ordinata di $V$. Ho due domande:

1) Da dove vengono queste definizioni? mi sembrano un po' piovute dal cielo e non riesco a farmi un idea del significato, anche se immagino siano collegate con la definizione di autovalori non capisco in che modo

2) Riguardo la definizione del polinomio caratteristico di un endomorfismo è giusto dire che:
$chi_phi(X)=det(X*I_n-M_B(phi))=det(X*I_n)-det(M_B(phi))$ per la multilinearità del determinante? perchè altrimenti non riesco a spiegarmi l'indipendenza della definizione dalla base. (ho capito che $M_B(phi)$ ha sempre lo stesso determinante per ogni base $B$, ma riguardo $X*I_n-M_B(phi)$ invece non so cosa dire)

Grazie mille

[Bokonon]

"ProPatria":
$chi_phi(X)=det(X*I_n-M_B(phi))=det(X*I_n)-det(M_B(phi))$ per la multilinearità del determinante?

Dieci frustate

Devi mettere insieme la definizione di autovettore e il concetto di matrici simili

[ProPatria]

"Bokonon":[quote="ProPatria"]
$chi_phi(X)=det(X*I_n-M_B(phi))=det(X*I_n)-det(M_B(phi))$ per la multilinearità del determinante?

Dieci frustate

Devi mettere insieme la definizione di autovettore e il concetto di matrici simili[/quote]

Ok grazie ci provo

un autovettore è un $x inV$ che soddisfa:
$A*x=lamda*x$,
in altre parole:
$(lamda*I_n-A)x=0$;
per la moltiplicatività del determinante ho che:
$det(lamda*I_n-A)=det(0)/det(x*I_n)=0$,
dunque ho che ogni autovalore di A è radice del polinomio caratteristico $det(X*I_n-A)$.
Ma come faccio a dire che ogni radice del polinomio caratteristico è autovalore di A?

[j18eos]

Ottima domanda, pessima risposta!

Inizio col ricordare che il determinante di una matrice quadrata non è un'applicazione lineare!!!
Bensì questi si definisce come applicazione multi-lineare alternante su i vettori righe\colonne della matrice stessa, il che è tutta un'altra cosa...

Siano \(\displaystyle\mathbb{V}\) uno spazio vettoriale ed \(\displaystyle f\) un suo endomorfismo lineare.
Si definisce autovettore di \(\displaystyle f\) un vettore non nullo \(\displaystyle\underline{v}\) per cui esiste \(\displaystyle\lambda\in\mathbb{K}\) tale che \(\displaystyle f(\underline{v})=\lambda\underline{v}\). Tale scalare \(\displaystyle\lambda\) si definisce autovalore di \(\displaystyle f\).

Note.
[list=a]
[*:1e0sjbm9]Non c'è alcuna ipotesi sulla dimensione di \(\displaystyle\mathbb{V}\).[/*:m:1e0sjbm9]
[*:1e0sjbm9]Non c'è alcuna ipotesi sul campo \(\displaystyle\mathbb{K}\); per comodità di chi legge, lo si può scegliere tra \(\displaystyle\mathbb{R}\) e \(\displaystyle\mathbb{C}\).[/*:m:1e0sjbm9]
[*:1e0sjbm9]Senza cambiare le precedenti notazioni: \(\displaystyle f(\underline{0})=\underline{0}\), quindi per il vettore nullo non sarebbe ben determinabile \(\displaystyle\lambda\), ciò giustifica la sua esclusione dall'insieme degli autovettori di \(\displaystyle f\).[/*:m:1e0sjbm9][/list:o:1e0sjbm9]
Supposto che \(\displaystyle\mathbb{V}\) abbia dimensione finita \(\displaystyle n\), fissata una sua base (ordinata) \(\displaystyle\mathcal{B}\) ovvero un riferimento vettoriale \(\displaystyle\mathfrak{R}\), si può costruire una matrice quadrata \(\displaystyle M\in\mathbb{K}^n_n\) tale che \(\displaystyle(f(\underline{v}))_{\mathfrak{R}}=M\times(\underline{v})_{\mathfrak{R}}\), ovvero \(\displaystyle M\) rappresenta \(\displaystyle f\) rispetto ad \(\displaystyle\mathfrak{R}\).

Nota bene. Si possono scegliere anche due riferimenti vettoriali distinti su \(\displaystyle\mathbb{V}\), l'uno sul dominio e l'altro sul codominio, e quanto segue resterebbe valido. Ma ciò sarebbe un'inutile complicazione formale!

Ovviamente si possono (ri)definire i concetti di autovalore ed autovalore per una matrice quadrata.

Veniamo al problema della ricerca degli autovalori e degli autovettori: per definizione \(\displaystyle M\times\underline{v}=\lambda\underline{v}\) ove il vettore in questione lo sto confondendo col vettore numerico delle sue coordinate rispetto a un fissato sistema di riferimento.
In altra forma:
\[
M\times\underline{v}=\lambda I_n^n\times\underline{v}\\
M\times\underline{v}-\lambda I_n^n\times\underline{v}=\underline{0}\\
(M-\lambda I_n^n)\times\underline{v}=\underline{0}
\]
ove \(\displaystyle I_n^n\) è la matrice identità di ordine \(\displaystyle n\).

Si ottiene così un sistema di \(\displaystyle n\) equazioni lineari omogenee in \(\displaystyle n\) incognite con un parametro \(\displaystyle\lambda\) la cui matrice incompleta è \(\displaystyle M-\lambda I_n^n\); per il teorema di Rouché-Capelli, tale sistema ammette soluzioni non banali se e solo se \(\displaystyle0\leq rank(M-\lambda I_n^n)
Il resto vien da sé... spero!

[ProPatria]

"j18eos":
Si ottiene così un sistema di \(\displaystyle n\) equazioni lineari omogenee in \(\displaystyle n\) incognite con un parametro \(\displaystyle\lambda\) la cui matrice incompleta è \(\displaystyle M-\lambda I_n^n\); per il teorema di Rouché-Capelli, tale sistema ammette soluzioni non banali se e solo se \(\displaystyle0\leq rank(M-\lambda I_n^n)

Era questo che mi mancava! grazie mille