Polinomio Caratteristico, Diagonalizzazione
Ciao a tutti. Ho un serio problema con il trovare il polinomio caratteristico associato ad un endomorfismo per vedere se è diagonalizzabile o meno. In poche parole io so risolvere l'intero esercizio e ovvero dat un endomorfismo, calcolarne la matrice associata, il nucleo, l'immagine, determinare se è invertibile o meno e diagonalizzare, tutto questo anche nel caso in cui c'è un parametro. Il problema è che appena arrivo al calcolare il polinomio caratteristico non riesco a calcolarlo fino alla fine per determinare quali sono gli autovalori. Vi posto un esercizio che sto facendo ma mi sono bloccato. Spero possiate aiutarmi.
L'esercizio è un endomorfismo in $RR^3$ tale che $(x,y,z)->(kz-x,(k-1)y,kx-z)$. Io ho fatto tutto quello ceh dovevo fare e adesso sono arrivato al polinomio caratteristico che lo calcolo, ovviamente, come il determinante di questa matrice $ ( ( -1-lambda , 0 , k ),( 0 , k-1-lambda , 0 ),( k , 0 , -1-lambda ) ) $. Io calcolo il determinante che viene questo $(-1-lambda)^2(k-1-lambda)-k^2(k-1-lambda)$. Ho provato a risolvere ma non c'è via d'uscita. Perfavore un aiutino. Grazie
L'esercizio è un endomorfismo in $RR^3$ tale che $(x,y,z)->(kz-x,(k-1)y,kx-z)$. Io ho fatto tutto quello ceh dovevo fare e adesso sono arrivato al polinomio caratteristico che lo calcolo, ovviamente, come il determinante di questa matrice $ ( ( -1-lambda , 0 , k ),( 0 , k-1-lambda , 0 ),( k , 0 , -1-lambda ) ) $. Io calcolo il determinante che viene questo $(-1-lambda)^2(k-1-lambda)-k^2(k-1-lambda)$. Ho provato a risolvere ma non c'è via d'uscita. Perfavore un aiutino. Grazie
Risposte
Prendi a fattor comune [tex]k-1-\lambda[/tex] ovvero:
[tex](-1-\lambda)^2(k-1-\lambda)-k^2(k-1-\lambda)=(k-1-\lambda)[(-1-\lambda)^2-k^2]=0[/tex]
e ti determini i vari autovalori [tex]\lambda[/tex] in funzione di [tex]k[/tex].
Ovviamente io ti parlo solo per questo caso particolare che vi è un fattore comune, se ti capitasse ancora (con qualsiasi equazione non solo di quella caratteristica di un endomorfismo) ora sia come fare!
[tex](-1-\lambda)^2(k-1-\lambda)-k^2(k-1-\lambda)=(k-1-\lambda)[(-1-\lambda)^2-k^2]=0[/tex]
e ti determini i vari autovalori [tex]\lambda[/tex] in funzione di [tex]k[/tex].
Ovviamente io ti parlo solo per questo caso particolare che vi è un fattore comune, se ti capitasse ancora (con qualsiasi equazione non solo di quella caratteristica di un endomorfismo) ora sia come fare!
Ok. Ma dopo che prendo a fattor comune quel polinomio, devo risolvere quello che c'è dentro le parentesi quadre? perchè in questo modo i valori di $lambda$ sarebbero $lambda_1=k-1$ e poi? c'è quel $k^2$ che dove lo metto?
Sarebbe:
[tex](-1-\lambda)^2=k^2[/tex]
metti tutto sotto radice aritmetica e...
[tex](-1-\lambda)^2=k^2[/tex]
metti tutto sotto radice aritmetica e...
ok. Grazie mille. Ciao
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